Ableitung einer Trigonometrischen Funktion

Hallo,

gegeben ist folgende Funktion:

 2
f(x)= --------
 tan x

Gut, wollte ich das einfach nach der Quotientenregel ableiten:

 u'\*v - u\*v'
f'(x) = --------------
 v²


u = 2 u'= 0
 1
v = tan x v'= ----- = tan²x + 1
 cos²x

 [0 \* tan x]-[2 \* (tan²x + 1)]
f'(x) = ------------------------------
 tan²x

 - 2\*tan²x - 2
f'(x) = ------------------
 tan²x

Diese Lösung scheint jedoch nicht zu stimmen.
Mein Taschenrechner sagt mir die Lösung seie:

 - π
f'(x) = ------------------
 90 \* (Sin²x)

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?

Gruß
Jonny

Hallo,

Trick 17: tan(x) = sin(x)/cos(x)

Also:

 2 1 cos(x)
f(x)= -------- = 2 x ------------- = 2 x --------
 tan x sin(x)/cos(x) sin(x)

Der Faktor 2 bleibt beim Ableiten erhalten. Du must nur cos(x)/sin(x) ableiten und das Ergebnis mit 2 multiplizieren.
Nach der Quotientenregel ableiten:

u=cos(x) u'=-sin(x)
v=sin(x) v'= cos(x)

 u'\*v - u\*v' cos²(x)
f'(x) = 2 x -------------- = 2 x (-1 - ------- )
 v² sin²(x)

Den Bruch kannst du wieder in den Tangens umformen, die Klammer kannst du ausmultiplizieren:

 2
f'(x) = 2 - ---------
 tan²(x)

Fertig.

LG
Jochen

Hallo!

Erstmal vorneweg: Du hast richtig gerechnet. Ich komme auf das gleiche Ergebnis mit einem anderen Lösungsansatz.

Mein Taschenrechner sagt mir die Lösung seie:

  • π
    f’(x) = ------------------
    90 * (Sin²x)

pi und 90 in einer Formel? Das wundert mich. Wahrscheinlich hast Du an der falschen Stelle von Grad auf Bogenmaß umgestellt, oder die Software des Taschenrechners hat es verbockt. Ich vermute mal, dass er folgendes sagen wollte:

f’(x)= -pi/(pi/2 * sin²x)=- 2/sin²x

Deine Lösung lautete:

f’(x)= - (2tan²x - 2)/tan²x = -2 - 2/tan²x

Ich behaupte mal, dass beides das selbe ist. Es gilt also zu beweisen, dass

-2/sin²x = -2 -2/tan²x

Ich ersetze auf der rechten Seite tanx durch sinx/cosx:

-2/sin²x = -2 -2cos²x/sin²x

Außerdem ersetze ich (Pythagoras für Winkelfunktionen) cos²x durch 1 - sin²x:

-2/sin²x = -2 -2(1-sin²x)/sin²x
-2/sin²x = -2 + [(-2/sin²x) - (-2sin²x/sin²x)]
-2/sin²x = -2 + [-2/sin²x + 2]
-2/sin²x = 0 -2/sin²x
0 = 0

q.e.d.

Michael

Der Taschenrechner rechnet eh etwas komisch…

Hallo Michael!

Erstmal vorneweg: Du hast richtig gerechnet. Ich komme auf das
gleiche Ergebnis mit einem anderen Lösungsansatz.

Das ist schön zu hören :smile:

Mein Taschenrechner sagt mir die Lösung seie:

  • π
    f’(x) = ------------------
    90 * (Sin²x)

pi und 90 in einer Formel? Das wundert mich. Wahrscheinlich
hast Du an der falschen Stelle von Grad auf Bogenmaß
umgestellt, oder die Software des Taschenrechners hat es
verbockt. Ich vermute mal, dass er folgendes sagen wollte:

f’(x)= -pi/(pi/2 * sin²x)=- 2/sin²x

Was Der Taschenrechner so genau macht weiß ich nicht :wink:
Es ist ein TI-89 Titanium. Er ist auf „Grad“ eingestellt worden.
(das hab ich schon 5-6 mal überprüft)

Hier mal ein Beispiel was er aus verschienden Ableitungen macht:

f(x) = sin x
ich sage: f’(x) = cos x

er sagt: f’(x) = (pi*cos(x))/180

f(x) = cos x
Ich sage: f’(x) = -sin x

er sagt: f’(x) = (-pi*sin(x))/180

Ich kann mir das nicht erklären warum er nicht die westenlich einfachere Lösung nimmt. Es scheinft fast so, als sei es ein anderes System. Gibt es denn einen Unterschied ziwschen dem „DEG - Deutschen einheits grad“ und „GRAD“?
Wenn ich mit meinem zweiten taschenrechner der auf DEG gestellt ist sin(60) ausrechne kommt das gleiche raus wie bei meinem zweite auf GRAD gestellt. Vondaher sollte es doch keine Unterschiede geben, denke ich.

In einer Woche muss ich mit dem Taschenrechner mein Elektrotechnik Abi schreiben und wenn der dann beim umrechnen der Komplexen Zahlen in Betrag und Winkel bei den Winkel genau sonen quatsch macht dann gute nacht…

Gruß und Dank
jonny

Hi,

Gibt es denn einen Unterschied ziwschen dem
„DEG - Deutschen einheits grad“

DEG steht für „degree“ und nicht für „Deutschen Einheits Grad“ :wink: Es ist nicht alles deutsch, was gut ist *fg*

und „GRAD“?

DEG bezieht sich auf einen Kreis mit 360°.
GRAD (= Neugrad) bezieht sich auf einen Kreis mit 400°.

Wenn ich mit meinem zweiten taschenrechner der auf DEG
gestellt ist sin(60) ausrechne kommt das gleiche raus wie bei
meinem zweite auf GRAD gestellt.

Also bei mir nicht.
Rechne mal aus:

DEG: sin(60°) = 0,866…
GRA: sin(60°) = 0,809…

In einer Woche muss ich mit dem Taschenrechner mein
Elektrotechnik Abi schreiben und wenn der dann beim umrechnen
der Komplexen Zahlen in Betrag und Winkel bei den Winkel genau
sonen quatsch macht dann gute nacht…

Aber wirklich. Hast du dich vertippt oder was ist da los? :wink:

Gruß,

Steffie

Hi Steffie

DEG steht für „degree“ und nicht für „Deutschen Einheits Grad“
:wink: Es ist nicht alles deutsch, was gut ist *fg*

Hm dann wird mein E-technik lehrer wohl doch langsam seniel, aber das sich für unfehlbar halten ist bis heute geblieben… :wink:

und „GRAD“?

DEG bezieht sich auf einen Kreis mit 360°.
GRAD (= Neugrad) bezieht sich auf einen Kreis mit 400°.

Wenn ich mit meinem zweiten taschenrechner der auf DEG
gestellt ist sin(60) ausrechne kommt das gleiche raus wie bei
meinem zweite auf GRAD gestellt.

Also bei mir nicht.
Rechne mal aus:

wird gemacht.

DEG: sin(60°) = 0,866…
GRA: sin(60°) = 0,809…

DEG: sin(60°) = 0,866025404
GRA: sin(60°) = 0,866025403784

Ich Glaub bei meinem TI ist GRAD = DEG…
Ich hab auch noch „Gradian“, da kommt dann das raus was du für GRA hast.

In einer Woche muss ich mit dem Taschenrechner mein
Elektrotechnik Abi schreiben und wenn der dann beim umrechnen
der Komplexen Zahlen in Betrag und Winkel bei den Winkel genau
sonen quatsch macht dann gute nacht…

Aber wirklich. Hast du dich vertippt oder was ist da los? :wink:

Ne, scheinbar nicht :wink:

Gruß
Jonny

Hallo,

die verschiedenen Einstellungen der Grad-Varianten sind eine beliebte Fehlerquelle.

Hm dann wird mein E-technik lehrer wohl doch langsam seniel,
aber das sich für unfehlbar halten ist bis heute geblieben…

Jo:

Lehrer haben vormittags Recht,
und Nachmittags frei!

Also ich wünsch Dir viel Erfolg, die Infos hast Du ja bekommen.

Gruß Volker, der auch Lehrer ist.

Tja, das kommt davon, wenn man sich mit seinem Rechenknecht unzureichend beschäftigt.

Es ist schonmal schlecht, daß Du bei der Ableitung trigonometrischer Funktionen

  1. einen Taschenrechner benutzen kannst (seit wann ist denn CAS erlaubt?! Unsitten über Unsitten!)

  2. an den Griff zum Taschenrechner überhaupt erst denkst!

Wozu gibts Papier, Bleistift und das Oberstübchen samt Tafelwerk?
Übrigens ist bei symbolischen Ableitungen grundsätzlich

RADIANT

zu verwenden.
Ansonsten darfst Du in den Lösungen des Taschenrechners dann fleißig das Bogenmaß bzw. das Gradmaß umrechnen.

Die Einstellung

GRAD

interessiert allgemein nicht, weil damit „Neugrad“ also Gon gemeint sind. Und Gon interessiert keinen Menschen :wink:

An Deiner Stelle würde ich mir lieber nochmal den Einheitskreis angucken, anstatt auf dem Taschenrechner herumzuhacken.

Und für das Umrechnen komplexer Zahlen brauchst Du das Ding auch nicht - wollen wir wetten, daß das jeder anständig Geübte mit Papier und Bleistift schneller kann, als Du mit Deiner TI89-Krücke :wink:?

MfG

Hallo Studing

Es ist schonmal schlecht, daß Du bei der Ableitung
trigonometrischer Funktionen

  1. einen Taschenrechner benutzen kannst (seit wann ist denn
    CAS erlaubt?! Unsitten über Unsitten!)

Ich benutze den Taschenrechner lediglich um Rechungen schnell zu kontrollieren,
benutzen darf ich ihn in Prüfungen, wo dieser mir einen Vorteil schaffen würde, natürlich nicht.

  1. an den Griff zum Taschenrechner überhaupt erst denkst!

Natürlich denke ich daran. Ich Kontrolliere meine Ergebnisse ja damit.
Hier geht es ja nur um Übung und um zu schauen ob ich es kann.

Wozu gibts Papier, Bleistift und das Oberstübchen samt
Tafelwerk?

Wie gesagt, damit arbeite ich ja primär, der Taschenrechner dient nur der Kontrolle.

Übrigens ist bei symbolischen Ableitungen grundsätzlich

RADIANT

zu verwenden.
Ansonsten darfst Du in den Lösungen des Taschenrechners dann
fleißig das Bogenmaß bzw. das Gradmaß umrechnen.

Die Einstellung

GRAD

interessiert allgemein nicht, weil damit „Neugrad“ also Gon
gemeint sind. Und Gon interessiert keinen Menschen :wink:

Wie ich schonmal sagte bez GRAD bei meinem Taschenrechner DEG.
Das wurde in einem früheren Posting geklärt.

Gruß
Jonny

Rest der nichts mit meiner Frage zu tun hatte:

Tja, das kommt davon, wenn man sich mit seinem Rechenknecht
unzureichend beschäftigt.

Tu ich ja grade.

An Deiner Stelle würde ich mir lieber nochmal den
Einheitskreis angucken, anstatt auf dem Taschenrechner
herumzuhacken.

Den Einheitskreis hab ich mir zur genüge angeschaut.

Und für das Umrechnen komplexer Zahlen brauchst Du das Ding
auch nicht - wollen wir wetten, daß das jeder anständig Geübte
mit Papier und Bleistift schneller kann, als Du mit Deiner
TI89-Krücke :wink:?

Da wäre ich mir nicht so sicher.
Die Anzahl der Verrechungsmöglichkeiten stiegt damit auch.

und Ps: Du hast mir zwar erkärt wofür man was nimmt, aber nicht warum mein Taschenrechner das so anzeigt,
und das war die Fragestellung auf die du geantwortet hast. ALLE anderen Fragen die im Posting standen waren bereits geklärt worden.
Und ich hätte das ganze auch jetzt nicht so ausführlich kommentiert wenn ich dein Posting nicht so herrablassend gefunden hätte, was ich schade fand.
Ansonsten vielen Dank für die Hilfe und das du dich bemüht hast.

Hallo.

Mal ernsthaft. Inzwischen haben auch schon die TI-Leute eine Macke, wenn sie die üblichen Bezeichnungen so über den Haufen werfen.
Die anderen Postings hatte ich natürlich nicht gelesen, habe ich aber soeben nachgeholt.

Ich benutze den Taschenrechner lediglich um Rechungen schnell
zu kontrollieren,
benutzen darf ich ihn in Prüfungen, wo dieser mir einen
Vorteil schaffen würde, natürlich nicht.

Kurz gesagt: Dann darfst Du ihn nirgendwo verwenden?! Ich habe mir gerade einmal im Internet eine ausführliche Liste an Möglichkeiten dieses Rechenknechtes durchgelesen und bin entsetzt, daß sowas jetzt schon in Schulen Einzug hält. Beim Studium sind CAS-Rechner wieder etwas anderes: Ich benutze zum Beispiel DEN Taschenrechner und den Taschenrechnern; oft verboten (oder schlicht UNBRAUCHBAR) waren solche elektronischen Hilfen trotzdem.

An Deiner Stelle würde ich mir lieber nochmal den
Einheitskreis angucken, anstatt auf dem Taschenrechner
herumzuhacken.

Den Einheitskreis hab ich mir zur genüge angeschaut.

Dann behaupte ich dagegen, daß Du das nicht unbedingt „zur Genüge“ getan hast, sonst bräuchtest Du den Kontrollgriff zum Rechner nicht.

Sieh es doch einmal so: Was wäre, wenn das Ding nicht symbolisch rechnen könnte? So herum kannst Du viel besser prüfen, ob Du Stoff begriffen hast oder nicht: Prüfen auf Richtigkeit mit einfachen Mitteln, durch Überlegen.

Zwischen „Einhacken in den Rechner“ und „eigenhändiger Nachprüfung auf Grund von Zusammenhängen“ klaffen qualitativ Lichtjahre, die man vorallem immer in der Nachhilfe bei Schülern beobachten kann.

Eine Entwöhnung von Taschenrechnern täte vielen, vielen Schülern richtig gut. Rückblickend hat uns (mir) diese Technisierung auch nicht unbedingt gut getan.

Und für das Umrechnen komplexer Zahlen brauchst Du das Ding
auch nicht - wollen wir wetten, daß das jeder anständig Geübte
mit Papier und Bleistift schneller kann, als Du mit Deiner
TI89-Krücke :wink:?

Da wäre ich mir nicht so sicher.
Die Anzahl der Verrechungsmöglichkeiten steigt damit auch.

Wenn man vernünftig mit der Hand und im Kopf rechnen kann, ist die Chance, sich beim Eintippen in den Rechner zu VERtippen, eindeutig höher, als einen manuellen Rechenfehler zu begehen.

Das Stichwort lautet „Mindestmaß an Konzentration“.

Vorteile bringt der Rechner nur bei komplizierteren Operatoren und sehr krummen Zahlen, wobei man auch hier mit einer anständigen SIN/ARCSIN-COS/ARCCOS-TAN/ARCTAN-COT/ARCCOT-SEC-CSC-Tabelle und ein wenig Übung sehr schnell zu Ergebnissen kommt.

Es ist schon klar, worauf Du hinauswillst, wenn Du von Ergebniskontrolle sprichst. Doch Schüler sind bei der Anwendung von Hilfsmitteln quasi immer auf die Bequemlichkeitsseite bedacht. :wink:

Du hast mir zwar erkärt wofür man was nimmt, aber
nicht warum mein Taschenrechner das so anzeigt,
und das war die Fragestellung auf die du geantwortet hast.

Die Antowrt darauf lautet: Die TI-Leute wollten wahrscheinlich originell sein. Ich habe schon mit vielen sehr verschiedenen TI-Rechnern gearbeitet und bei keinem galt „DEG“ = „GRAD“.

MfG