Hallo,
ich habe es zwar mal gelernt (ist auch noch gar nicht lange her), aber ich hab’s nicht mehr im Kopf:
Wie leitet man eine Funktion mit einem Logarithmus Naturalis ab?
Ich weiß noch, dass ln(x) zu 1/x wird. Das hat man uns häufig gesagt, es nie aber allgemein formuliert.
Was wird beispielsweise aus ln(2x)?
Dankeschön!
Tobias
Ich weiß noch, dass ln(x) zu 1/x wird. Das hat man uns häufig
gesagt, es nie aber allgemein formuliert.Was wird beispielsweise aus ln(2x)?
Es gilt immer Innere Ableitung mal äußere Ableitung:
df(g(x))/dx = g’(f(x))*f’(x)
Die Ableitung von ln(2x) ist also auch 1/x.
Hallo Tobias!
Du hast Recht. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x.
Die Ableitung von f(x)=ln(2x) ist zunächst 1/(2x). Dies ist aber nicht die Ableitung der Funktion, da f(x)=ln(2x) eine Verkettung ist und man somit 1/(2x) noch mit der Ableitung der inneren Funktion 2x multiplizieren muss. Die Ableitung von 2x ist ja 2, und somit ergibt sich nach Kürzen: f’(x)=1/x.
Allgemein kann man sagen:
Die Ableitung von f(x)=ln(n*x) ist f’(x)=1/x.
Falls man sich mit verketteten Funktion nicht auskennt, kann man sich den Zusammenhang anders veranschaulichen.
Es nach dem Logarithmusgesetz gilt nämlich:
f(x)=ln(u*v)=ln(u)+ln(v)
Beispiel: f(x)=ln(3x)=ln(3)+ln(x)
Da ln(3) eine Zahl ist, ist die Ableitung von ln(3) null.
Somit ist die Ableitung von f(x)=ln(3)+ln(x), f’(x)=0+1/x=1/x.
Peace, Emanuel
Ableitung eines natürlichen Logarithmusfunktion
Wie leitet man eine Funktion mit einem Logarithmus Naturalis
ab?
Ich weiß noch, dass ln(x) zu 1/x wird. Das hat man uns häufig
gesagt, es nie aber allgemein formuliert.:
Hallo, Tobias!
Zur Ableitung wie üblich den Differebzebnquotienten nehmen.
Oder über die Umkehrfunktion e^x berechnen. Dazu muß man dann aber eben e^x ableiten. Und dies geht immer über die Definition von e als lim{(1+x/n)^n}.
Beispiel f(x) = lnx:
f´(x) = lim{(ln[x+delx]-ln[x])delx} = lim{ln([x+delx]/x)/delx)} =
lim{ln(1+delx/x)/delx} = lim{(1/delx)*ln(1+delx/x)}, alles für delx gegen 0, unnu Substitution n = 1/delx:
f´(x) = lim{n*ln(1+1/nx)} = lim{ln(1+1/nx)^n} =
lim{ln(1+1/nx)^nx}^1/x = ln{lim(1+1/nx)^nx}^1/x = ln{(e^[1/x]) = 1/x. wzzw.
Oder über die Ableitung von g(x) = e^x
g´(x) = lim{(e^[x+delx]-e^x)/delx} = lim{e^x*(e^delx - 1)/delx} =
Wieder Suppenstippen n = 1/delx ergibt:
g´(x) = e^x *lim{(e^[1/n]-1)*n} = e^x*lim{(1+1/n)^n^[1/n]-1)*n} ?= e^x*lim{(1+1/n-1)*n} = e^x.
Und wenn y = ln[x], dann x = e^y, und mit
x´= 1 = e^y * y´ (weil ja Kettenregel, äußere mal innere) folgt also y´= 1/e^y = 1/e^(ln[x]) = 1/x.
Genauso leitet man ja ursprünglich die Wurzelfunktion ab:
y = Wrz[x] —> x = y^2 --> x´= 1 = 2*y*y´ -->
y´= 1/2y = 1/2Wrzx
Alles andere ist dir ja schon von dem ersten Antworter gezeigt worden (ln[2x], etc). Ist immer ne schöne Übung für mich.
Grüße, moin, manni