Ableitung Funktionen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo liebe Mathematik-Expertinnen und Mathematik-Experten

Quäle mich zur Zeit durch Ableitungen. Den Differenzialquotienten mit der Formel f’(x) = (f(x+h)-f(x)) / h glaube ich soweit auch begriffen zu haben und kann ihn meistens auch richtig anwenden. Aber bei der Ableitung für die folgende Funktion stehe ich an:
f(x) = x/(1+x)
Mit einem Onlinetool gab es mir die Lösung:
f’(x) = 1/(x+1) - x/(x+1)^2

Da kriege ich einfach keinen ‚gscheiten‘ Lösungsweg hin. Kann mir jemand helfen? Thanks

Herzliche Grüsse
Brian

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Moin,

ich denke ich weiß was die gemacht haben, bin mir aber nicht sicher. Die haben hier die Produktregel angewandt wenn ich mir das so anschaue…

Mit einem Onlinetool gab es mir die Lösung:
f’(x) = 1/(x+1) - x/(x+1)^2

Bist du sicher das da ein minus zwischen kommt?

Da kriege ich einfach keinen ‚gscheiten‘ Lösungsweg hin. Kann
mir jemand helfen? Thanks

Ich versuchs mal:

du kannst die Funktion ja auch so darstellen:

x*((1+x)^(-1))

Dann die Produktregel

(1+x)^-1 - x * ( -1((1+x)^-2)*1)
(1+x)^-1 - x * (-1*((1+x)^-2))
(1+x)^-1 + x*((1+x)^-2)

Das kann man dann anders darstellen

1/(1+x) + x/(1+x)²

Wie du siehst komme ich da auf ein + zwischen, vll habe ich auch noch einen Denkfehler. Aber so in die Richtung hin müsste es eigentlich kommen. Bin nur Schüler, ein wirklicher Matheexperte sollte das hier noch mal überprüfen.

Hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen!

mfg

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Hallo, mal schauen, was um diese Tageszeit noch geht.

f(x) = x/(1+x)

Ich kann mir seit meiner Schulzeit die Quotientenregel nicht merken und wende sie auch mit Tabellen (fast) nie an.

Forme es um:

f(x) = x * 1/(1 + x ) = x * (1 + x) ^-1.

Jetzt kannst Du die Produktregel anwenden:

f = u*v => f´ = u*v´ + u´*v

Mit einem Onlinetool gab es mir die Lösung:
f’(x) = 1/(x+1) - x/(x+1)^2

Mit obiger Umformung bekommst Du dieses Zwischenergebnis.

Wenn Du jetzt noch alles auf den Hauptnenner bringst, dann bekommst Du:

f´(x) = 1/(1 + x)^2

Mein TR unterstützt mich bei diesem Ergebnis.

Wenn noch Zwischenschritte fehlen, naja, ruhig mal fragen, aber „wo hakt es“, ok?

HTH

Gruß Volker

Brian

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Hallo, wir stimmen ja im Ansatz überein.

x*((1+x)^(-1))

Korrekt.

Dann die Produktregel

(1+x)^-1 - x * ( -1((1+x)^-2)*1)

Wie kommst Du hier auf das Minuszeichen vor dem x und dem innerhalb der Klammer, daraus resultiert Dein Pluszeichen.

Mal schauen, was ich morgen dazu sage, ich werde jetzt nicht mehr viel Mathe machen.

Gute Nacht

gruß Volker

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Quotientenregel, der Vollständigkeit halber.
Hallo,
u(x)/ v(x) d/dx = (u’v - v’u) / v²

daher:

f(x) = x/(1+x)
f’(x) = [1*(1+x) - x] / (1+x)²
f’(x) = 1 / (1+x)²

MfG

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ich danke Dir, ohne Formelsammlung hab ich die nicht im Kopf.
Aber wir sind offensichtlich zum gleichen Ergebnis gekommen.

Gute Nacht

Volker

7

Hi Bruno,

die anderen haben die Lösung ja schon hergeleitet, wenn dich der Weg via Differenzenquotient (der ja der Basis all dieser netten Vereinfachungen ist) noch interessiert:

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h}{1+x+h} - \frac{x}{1+x}}{h}

= \lim_{h \to 0} \frac{x+h}{h+xh+h^2} - \frac{x}{h+hx}

= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)(h+hx)-x(h+hx+h^2)}{(h+hx+h^2)(h+hx)}

= \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h^2(1+2x+x^2+h+hx)}

= \frac{1}{1+2x+x^2}

= \frac{1}{(x+1)^2}

= \frac{x+1-x}{(x+1)^2}

= \frac{1}{x+1} - \frac{x}{(x+1)^2}

q.e.d.

Grüße,
JPL

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Moin,

Ich kann mir seit meiner Schulzeit die Quotientenregel nicht
merken und wende sie auch mit Tabellen (fast) nie an.

die Quotientenregel ist doch auch nichts anderes als die Produktregel zusammen mit ein bisschen Kettenregel:

\left(\frac{u}{v}\right)’ = \left(u \cdot v^{-1}\right)’ = u’ \cdot v^{-1} + u \cdot \left(-1\right) \cdot v^{-2} \cdot v’ = \frac{u’ \cdot v - u \cdot v’}{v^2}

Schönes Wochenende allerseits.
Olaf

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Hallo Olaf,

völlig korrekt, so leite ich mir diese Formel auch her, wenn ich denn unbedingt diese Darstellung benötige.

In der Praxis ist für mich die Produktregel schlicht einfacher zu merken.

Im Endergebnis ergibt sich ja zum Glück das Gleiche.

Gruß und ein schönes WE

Volker

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Hallo Ihr Helfenden

Danke Euch für die Unterstützung und Klärungen, jetzt krieg ich es auch hin. Schönes Weekend
Brian

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Hi,

Aber wir sind offensichtlich zum gleichen Ergebnis gekommen.

ein weiterer Sieg für die Mathematik. :smiley:

MfG