ich habe das Problem, dass ich das Wachstunm zweier Funktionen gegeneinander abschätzen muss. Ich wollte mir mit Ableitungen behelfen, aber ich komme damit irgendwie nicht mehr klar…
Die Funktion heißt 3^(n*log(n)). log(n) hat dabei immer die Basis 2.
Irgendwie muss es ja mit innerer mal äußerer Ableitung gehen, aber ich erkenne gar nicht genau was nun der innere und was der äußere Teil ist und wie ich die verbinde. Wenn ich das richtig gemacht habe ist die Ableitung des Exponenten allein das hier: n*1/(n*ln2)+1*log(n) also 1/ln2+log(n).
Aber wie mache ich weiter? Kann mir einer helfen? Das wäre super.
ist bei mir schon sehr lange her, aber vielleicht hilft Dich das hier weiter:
Stichworte: beides, zuerst Kettenregel, dann Produktregel probieren:
für die Funktion y(n) = a^[n* lg2(n)]
setze y(z) = a^z
mit der Ableitung dy/dz = ln(a) * a^z
setze weiter z = n* lg2(n)
darin sei u = n
mit der Ableitung u’ = 1
und v = lg2(n)
mit der Ableitung v’ = 1/ln(2) * 1/n
mit der Produktregel z’ = u * v’ + u’ * v
folgt die Ableitung dz/dn = n * 1/ln2 * 1/n + 1 * lg2(n)
also dz/dn = 1/ln2 + lg2(n)
und schließlich mit dy/dn = dy/dz * dz/dn
die gesuchte Ableitung:
dy/dn = ln(a) * a^z * (1/ln2 + lg2(n))
Vielleicht nicht gerade elegant, aber ich denke, so könnte es gehen.
Was sagen die Mathe Profis dazu?
Gruß,
Bernd
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
das mit der Kettenregel ist so schon ganz richtig. Die innere und äußere Funktion wählt man hier sinnvollerweise zu
u(x) = 3^x
und
v(x) = n*lb(n)
lb(n) nennt man den Logarithmus zur Basis 2.
Deine Ableitung ist demnach v’(x) * u’(v(x)).
Als Ableitung von 3^x erhälst du zunächst ln(3)*3^x. Und jetzt musst du noch n*lb(n) ableiten. Dazu brauchst du einerseits die Produktregel, andererseits die Beziehung lb(n) = ln(n)/ln(2):