Ableitung gesucht

Wissenschaft Physik
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Hallo Mathematiker,

ich suche für folgende Funktion die Ableitung nach x

U = a xb exp{0,5[s²<sub>a</sub> + 2 r s<sub>a</sub>s<sub>b</sub>ln(x)+ s²<sub>b</sub>ln(x)²] + 0,5 s²}

Wer kann helfen ?

Danke im Voraus,

Gruß
Pumarc

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Hallo,

ich suche für folgende Funktion die Ableitung nach x

U = a xb exp{0,5[s²<sub>a</sub> + 2 r s<sub>a</sub>s<sub>b</sub>ln(x)+ s²<sub>b</sub>ln(x)²] + 0,5
s²}

Wer kann helfen ?

[f(x)*g(x)]’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
f(g(x))’ = f’(g(x))*g’(x)
Exp’(x) = Exp(x)
ln’(x) = 1/x
x^b’ = b*x^(b-1)

das ist alles was Du brauchst.

ciao
ralf

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Hallo ralf,

[f(x)*g(x)]’ = f’(x)*g(x) + f(x)*g’(x)
f(g(x))’ = f’(g(x))*g’(x)
Exp’(x) = Exp(x)
ln’(x) = 1/x
x^b’ = b*x^(b-1)

das ist alles was Du brauchst.

ciao
ralf

Vielen Dank für Deine Hilfe. Leider bringt mich das nicht wirklich weiter.

Ich habe noch folgende Regel gefunden, die mir die Sache noch erleichtern könnte:

f(x)’=ln(f(x))’ * f(x)

Schon mal gehört? Stimmt die?

Gruß,
Pumarc

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‚Logarithmische Ableitung‘
Hallo Pumarc,

f(x)’=ln(f(x))’ * f(x)

Schon mal gehört? Stimmt die?

ja, die stimmt. Teilst Du beide Seiten der Gleichung durch f(x), bekommst Du

 f'(x)
------- = (ln f(x))' [\*]
 f(x)

Links steht ein Bruch zweier Funktionen, bei dem die Zählerfunktion gerade gleich der Ableitung der Nennerfunktion ist. Da einem Brüche dieser Bauart immer mal wieder über den Weg laufen, wenn man zur Lösung irgendwelcher mathematischer Probleme viel mit Funktionen herumrechnen muß, hat man „f’/f“ sogar einen Namen gegeben, man nennt es „logarithmische Ableitung“, weil f’/f – wie [*] besagt – eben gleich der Ableitung des Logarithmus von f ist.

Der Beweis von [*] ist sehr einfach. Die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Hat die ln-Funktion eine Funktion f(x) als Argument, also „ln(f(x))“, so leitet sich das ab zu 1/f(x) * f’(x), wobei der zweite Faktor „f’(x)“ die „innere Ableitung“ ist.

Also: ln(f(x)) = 1/f(x) * f’(x) = f’(x)/f(x)

und das war’s schon mit dem Beweis.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Vielen Dank Martin,

aber die Fragen hören nicht auf. Kann man die folgende Formel nach x auflösen?

ln{a \* [b+s\*ln(x)]}
-------------------- = ln(x)
 1 - [b + s \* ln(x)]

Mit freundlichem Gruß
Marc

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Nochmals hallo, Marc,

aber die Fragen hören nicht auf. Kann man die folgende Formel
nach x auflösen?

ln{a * [b+s\*ln(x)]}
-------------------- = ln(x)
1 - [b + s \* ln(x)]

definitiv nein. Die Gleichung

 ln(2 u)
--------- = u
 1 - 2 u

ist ein Spezialfall davon (nämlich für u = ln(x), a = 1, b = 0, s = 2), und selbst diese Gleichung kannst Du nicht nach u auflösen. Du kannst sie umformen zu

ln(2 u) - u + 2 u^2 = 0

Dies ist eine sogenannte transzendente Gleichung, die so genannt wird, weil darin eine transzendente Funktion (hier „ln“), „wesentlich“ auftritt. Solche Gleichungen kann man nur numerisch lösen. Sogar die noch viel einfachere Gleichung „ln(x) + x = 0“ ist ebenfalls transzendent und somit einer „symbolischen“ Auflösung nach x nicht zugänglich. Es ist nicht schwer, sich viele solcher „ganz einfachen“, aber unlösbaren Gleichungen auszudenken.

Es gibt auch Gleichungen, die zwar transzendent aussehen, es aber nicht sind, wie z. B.

(ln(x))^2 - 3 ln(x) - 4 = 0

Die ln-Funktion tritt darin nicht „wesentlich“ auf. Man kann hier einfach mit „u = ln(x)“ substituieren und kommt damit auf eine simple quadratische Gleichung für u: u^2 - 3 u - 4 = 0, für die die pq-Formel die beiden Lösungen u1 = -1 und u2 = 4 liefert. Durch Rückgängigmachen der Substitution erhält man damit sofort auch die beiden Lösungen der ursprünglichen Gleichung: x1 = e^-1 und x2 = e^4.

Ciao
Martin

PS: Die „transzendenten Funktionen“ sind

  • alle Exponentialfunktionen,
  • alle Logarithmusfunktionen,
  • alle trigonometrischen F. + dazu inverse F.
  • alle hyperbolischen F. + dazu inverse F.
  • plus viele andere Spezialfunktionen wie z. B. die gamma-Funktion oder die Gaußsche Fehlerfunktion.
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