Hi Leute!
Ich habe ein ziemlich dickes Problem bei einer Funktion per H-methode.
Und zwar lautet diese: f(x) = wurzelx * sinx. Mit dem nromalen verfahren komme ich auf f’(x)= 0,5x^-0,5 * cosx.
Das wars aber auch schon was mein wissen anbelangt. Ich hab eigentlich nicht wirklich eine idee wie ich das angehen muss, ich weiß nur dass man allgemein sagen kann: lim f(x+h) - f(x) / h und dann h gegen 0 gehen soll.
Könntet ihr mir bitte ein bisschen weiterhelfen bzw mir erklären wie man vorzugehen hat 
p.s.: ja es handelt sich um hausaufgabe, wäre aber dankbar wenn ihr mir trotzdem weiterhelfen könntet da ich es für die Klausur sowieso können muss 
Hallo,
Ich habe ein ziemlich dickes Problem bei einer Funktion per
H-methode.
Und zwar lautet diese: f(x) = wurzelx * sinx.
f(x)=\sqrt x \sin(x)
oder
f(x)=\sqrt {x \sin(x)}
Mit dem nromalen
verfahren komme ich auf f’(x)= 0,5x^-0,5 * cosx.
Ich nicht - und zwar egal, welche von den beiden denkbaren Formeln ich ableite.
ich weiß nur dass man allgemein sagen kann: lim f(x+h) - f(x)
/ h und dann h gegen 0 gehen soll.
Das ist ja die Definition der Ableitung.
f’(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (f(x+h) - f(x))
„Einfach“ geschickt umformen, damit man den Grenzwert auch bilden kann. Sofern man die Produktregel schon bewiesen hat, dürfte es einfacher sein das für jeden Faktor alleine zu machen.
Cu Rene
Hi Rene,
[Formel: f(x)=\sqrt x \sin(x)] ist die richtige Funktion (btw mit welchem Programm schreibst du die Formeln immer??)
Und den Rest habe ich eigentlich nicht wirklich verstanden was du gesagt hast?!
Wieso kommst du nicht auf das gleiche Ableitungsergebnis?
sry hat nicht funktioniert zu kopieren, die 1. funktion passt
Hallo
[Formel: f(x)=\sqrt x \sin(x)] ist die richtige Funktion (btw
mit welchem Programm schreibst du die Formeln immer??)
Nennt sich z.B. Latex: http://www.wer-weiss-was.de/app/faqs/4/3070 (aber es gibt auch freie Editoren)
Wieso kommst du nicht auf das gleiche Ableitungsergebnis?
Produktregel: f’ * g + f * g’, f=Wurzel(x), g=sin(x)
mfg M.L.
\begin{displaymath} f’(x) = 0,5x^{-0,5} cdot sin(x) + sqrt{x} cdot cos(x) f’(x) = 0,5x^{-0,5} cdot sin(x) + sqrt{x} cdot cos(x) \end{displaymath}
Ist das die Ableitung? Und wie komme ich per H-Methode auf dieses Ergebnis?
Hallo Maxi0412!
f’(x) = 0,5x^{-0,5} \cdot \sin(x) + \sqrt{x} \cdot cos(x)
Ist das die Ableitung?
Ja. Wenn Du’s als Formel dargestellt haben willst, musst Du statt den begin- und end-Tags (displaymath) den code-Tag verwenden. Das klingt jetzt kryptisch, darum sieh, wie ich die Formel eingegeben habe:
f’(x) = 0,5x^{-0,5} \cdot \sin(x) + \sqrt{x} \cdot cos(x)
Und wie komme ich per H-Methode auf dieses Ergebnis?
Das ist hinreichend kompliziert. Im Grunde genommen leitest Du die Produktregel her, wenn Du’s ausrechnest.
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}\sin(x+h)-\sqrt{x}\sin(x)}{h}
Als erstes wendest Du das Additionstheorem für den Sinus an:
=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}\big(\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)\big)-\sqrt{x}\sin(x)}{h}
Dann fasst Du „geschickt“ zusammen:
=\lim_{h\to0}\left(\frac{\sqrt{x+h}\cos(h) - \sqrt{x}}{h}\sin(x)\right)+\lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h}\cdot\lim_{h\to0}\sqrt{x+h}\cos(x)
Nun bestimmst Du die Grenzwerte. Wenn Du einmal die Ableitung der Wurzelfunktion mit der h-Methode hergeleitet hast, sollte der erste Grenzwert unproblematisch sein, weil er genauso geht.
Der Grenzwert von sin(h)/h ist 1; aber ich überleg mir jetzt nicht, wie man das sieht. Vielleicht hast Du das auch schon irgendwo hergeleitet und kannst es jetzt benutzen.
Der Rest geht dann leicht.
Evtl. geht’s auch noch einfacher (weil Du tatsächlich die Produktregel herleitest). Dafür musst Du im Zähler die nahrhafte Null „+f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x)“ einfügen (geht auch mit f(x)g(x+h)) und hast dann die Limites, die Du schon kennst.
Aber auf die Idee muss man halt erst einmal kommen.
Liebe Grüße
Immo
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Hallo Immo,
…die nahrhafte Null …
das ist eine klasse Bezeichnung, finde ich! Kannte ich auch noch nicht.
Ich denke, die beste Herangehensweise für diese Aufgabe ist, die drei involvierten Ableitungsregeln schlicht separat zu beweisen: die Produktregel (f g)’ = f’ g + f g’ sowie sin’ = cos und (√x)’ = 1/(2 √x).
@Maxi0412: Unter dem Editorfenster, in das Du Deine Artikel eingibst, befindet sich ein kleiner grauer Kasten, der unter anderem einen Link „Hilfe zur LaTeX-Benutzung“ enthält. Klick den mal an. Dort findest Du erklärt, wie das mit den „schönen Formeln“ genau funktioniert.
Mit bestem Gruß
Martin
PS: Die Stammfunktion von ln(x) kann man ja dadurch bestimmen, indem man zunächst 1 · ln(x) schreibt, um dann die partielle Integration darauf anzuwenden. Gehe ich recht in der Annahme, dass man hierbei dann von einer nahrhaften Eins spricht?
Hi Martin,
PS: Die Stammfunktion von ln(x) kann man ja dadurch bestimmen,
indem man zunächst 1 · ln(x) schreibt, um dann die partielle
Integration darauf anzuwenden. Gehe ich recht in der Annahme,
dass man hierbei dann von einer nahrhaften Eins
spricht?
Eigentlich nicht. Die „nahrhafte Eins“ wäre ein Term a/a, der zu einer Vereinfachung des Terms an den er heranmultpiliziert wird, führt.
Grüße,
JPL