Wir besprechen gerade die Ableitungsregeln von Potenzfunktionen, also wenn f(x) = x^k, dann gilt ja:
f´(x) = k*x^[k-1].
Könnte man diese Regel nicht für die Aufstellung der Formel für die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n nutzen? Denn die Ableitung der Potenzsummenfunktion
p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 ++++ x^n ist ja
p´(x) = 1 + 2*x + 3*x^2 +++++n*x^[n-1], also ist
p´(1) = 1 + 2 + 3 ++++ n.
Erwas umständlich sicherlich für die einfache bekANNTE Formel (n+1)*n/2, aber bei dreimaliger Ableitung kann man damit immerhin die Formel von Gandhi B (gerade ins Archiv gewandert: „Beweis mit vollst. Induktion“) auch DIREKT herleiten!
immerhin die Formel von Gandhi B (gerade ins Archiv gewandert:
„Beweis mit vollst. Induktion“) auch DIREKT herleiten!
die direkte Herleitung der Beziehung 1 + 2 + 3 + … + n = 1/2 n (n + 1) ist absolut easy!
Frage: 1 + 2 + 3 + … + n = ?
Antwort: Ordne die Summe „trickreich“ um. Fasse den ersten und letzten Summanden zusammen, den zweiten und zweitletzten, den dritten und drittletzten usw.
= [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] + …
Stelle zwei Tatsachen fest:
a) der Wert aller Eckige-Klammern-Terme ist gleich, nämlich 1 + n!
b) es gibt genau n/2 Eckige-Klammern-Terme!
= n/2 (n + 1)
Fertig! Der Fall, dass n un gerade ist, erfordert noch eine kleine Zusatzüberlegung, weil dann der Summand genau in der Mitte keinen „Partner“ hat. Wenn man darüber nachdenkt (bitte selbst tun), kann man sich aber schnell davon überzeugen, dass die Formel auch für diesen Fall richtig ist.
Auf sowas war die Ausgangsfrage nicht ausgerichtet. Aber ich kenne eine sehr schnelle einleutende Herleitung, für die man keine vollst. induktion braucht, obwohl sie wohl nicht mathematisch exakt ist…
Dieses „Quadrat“ lässt sich teilen in zwei Stücke:
bbbbbba
bbbbbaa
bbbbaaa
bbbaaaa
bbaaaaa
baaaaaa
aaaaaaa
Jetzt lässt sich die Anzahl der "a"s durch [n + n*(n-1)/2]
ausdrücken. Und das lässt sich algebraisch ohne Schwierigkeit in n*(n+1)/2 umformen und klappt für gerade und ungerade n.
Jetzt lässt sich die Anzahl der "a"s durch [n + n*(n-1)/2]
ausdrücken. Und das lässt sich algebraisch ohne Schwierigkeit
in n*(n+1)/2 umformen und klappt für gerade und ungerade n.
inhaltlich ist Dein Beweis mit meinem identisch, sie unterschieden sich lediglich in der Darstellung. Deine Variante zeichnet sich aber durch eine besonders große Anschaulichkeit aus: man kann die Formel anhand des a-b-Rechtecks direkt sehen. Das bedeutet aber nicht automatisch, dass Dein Beweis nicht mathematisch exakt ist – er ist absolut korrekt und exakt.
Pyramidal!
Lieber Oliver, Markus und Stefan, ihr fragt zurecht:
„Und weiter? p´(1) = 1 + 2 + 3 ++++ n.
Und wie folgt daraus jetzt die Summenformel??“
Nunja, p(x) = 1+x+x^2 +++x^n = (x^[n+1]-1)/(x-1), und nun muß man diesen Quotienten noch ableiten und dann Hôpital anwenden und x=1 setzen. Aber das ist ne ELENDE RECHNEREI, und ich sollte echt lieber wie ihr „mit Bauklötzen spielen“ *g*!
Wie ich DAS meine?
Wie leitet ihr bitte die Summenformel für die natürlichen Quadrate her?
S{m^2};1,m,n = (n/3)(n+1)(n+1/2)
Am besten doch mit „Bauklötzen“!
Na, da man ja die Summen der natürlichen Zahlen selbst über die Fläche eines Dreiecks finden kann, wie ihr gezeigt habt, müßte man doch die Summe der Quadrate über das Volumen einer quadratischen Stufenpyramide berechnen können, oder?
Habt ihr das vielleicht schonmal gemacht?
Und was für Wege kennt ihr, noch „höhere“ Potenzsummen zu berechnen?
Und wie leitet ihr Ghandi B´s Formel „direkt“ her?
Vielleicht könnte man die „Ableitungsidee“ doch noch „umgekehrt“ für die Berechnung der Kehrwertsummen, also der 1/m^k, als Integralformel nutzen?
Wär ich doch ganz frustriert, wenn meine Idee zu überhaupt nichts nutzen würde!