Ableitung von (2x+1)^(x+2)?

Wissenschaft Physik
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Hi,
ich habe ein Problem mit der Ableitung von folgender Funktion:

f(x)=(2x+1)^(x+2)

Derive spuckt folgendes aus:

f’(x)=(2x + 1)^(x+1) * ((2x + 1) * LN(2x + 1) + 2(x + 2))

aber wie komme ich dahin?
sicherlich irgendwie mit dieser Regel:
f(x)=a^x
f’(x)=LNa*a^x

Und die Kettenregek fliesst da ja sicherlich auch mit ein… aber ich komme da absolut nicht weiter.

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Hallo

f(x)=(2x+1)^(x+2)

Kannst du umschreiben in e^(ln((2x+1)^(x+2))) und mit Logarithmusgesetzen in e^((x+2)*ln(2x+1)). Das dann ableiten und auf Kettenregel aufpassen. Es kommt dann das selbe wie bei Derive heraus (bei dessen Ergebnis ist noch (2x+1) in die Klammer hineinmultipliziert, deshalb bleibt nur (2x+1)^(x+1) über).

f’(x)=(2x + 1)^(x+1) * ((2x + 1) * LN(2x + 1) + 2(x + 2))

Liebe Grüße.
Alex

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H wie Hola.

Deine Funktion entspricht der Klasse

f(x) = u(x)<sup>v(x)</sup>

Dafür gibt es eine Technik namens logarithmische Differentiation
einschließlich Formel:

f'(x) = u(x)<sup>v(x)</sup> \* [v'(x) \* LN[u(x)] + v(x)/u(x) \* u'(x) ]

Als Ergebnis erhält man sofort

f'(x) = (2x+1)<sup>(x+2)</sup> \* ( LN(2x+1) + (x+2)/(2x+1) \* 2 )

 = (2x+1)<sup>(x+2)</sup> \* ( LN(2x+1) + 2(x+2)/(2x+1) )

 = (2x+1)<sup>(x+1)</sup> \* (2x+1) \* ( LN(2x+1) + 2(x+2)/(2x+1) )

 = (2x+1)<sup>(x+1)</sup> \* ( (2x+1)\*LN(2x+1) + 2(x+2) )

Der Trick war hier nur, aus der Potenz (2x+1)(x+2)
einmal (2x+1) rauszuziehen und in die große Klammer hineinzuballern.

Noch kurz zur Herleitung der Formel für die
Differentiation nach Logarithmieren.

 f(x) = u(x)<sup>v(x)</sup> | LN

LN[f(x)] = LN[u(x)<sup>v(x)</sup>]

LN[f(x)] = v(x) \* LN[u(x)] | d/dx

mit ( LN[f(x)] )' = f'(x)/f(x) und ( v(x) \* LN[u(x)] )' über Produktregel und Kettenregel 

f'(x)/f(x) = v'(x) \* LN[u(x)] + v(x) \* 1/u(x) \* u'(x) | \* f(x)


 f'(x) = f(x) \* [v'(x) \* LN[u(x)] + v(x) \* 1/u(x) \* u'(x) ]

 f'(x) = u(x)<sup>v(x)</sup> \* [v'(x) \* LN[u(x)] + v(x)/u(x) \* u'(x) ]

Ciao