Ableitung von a^x

Wissenschaft Mathematik
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Hallo;

nach den mir bekannten Ableitungsregeln ist die 1. Ableitung von a^x= ln(a)a^x.

Wenn ich diese Ableitung allerdings über die „normale“ Definition ausrechnen möchte, habe ich ein Problem:

\frac{a^x}{dx}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}\frac{a^xa^h-a^x}{h}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}a^x\left(\frac{a^h-1}{h}\right)

Und hier komme ich nicht weiter.
Logarithmieren scheint mir nichts zu bringen, da
\lim_{h{}\rightarrow{}0}\ln{h}=-\infty
ist.

Habe schon rausgefunden, dass der zweite Faktor für a=e gegen 1 konvergiert, habe allerdings keine Idee, wie man zeigen kann, das dieser immer gegen ln(a) konvergiert.

Hoffe mir kann da jemand helfen.

mfG

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Versuchs mal mit der Kettenregel.

Gruß,
David

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hi,

nach den mir bekannten Ableitungsregeln ist die 1. Ableitung
von a^x= ln(a)a^x.

a^x = (e^(ln a))^x = e^(ln a * x)
usw. (kettenregel)

Wenn ich diese Ableitung allerdings über die „normale“
Definition ausrechnen möchte, habe ich ein Problem:

\frac{a^x}{dx}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}\frac{a^xa^h-a^x}{h}=\lim_{h{}\rightarrow{}0}a^x\left(\frac{a^h-1}{h}\right)

das dx solltest du übrigens nicht in den nenner schreiben. tja; latex …

m.

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Hallo,

Habe schon rausgefunden, dass der zweite Faktor für a=e gegen
1 konvergiert, habe allerdings keine Idee, wie man zeigen
kann, das dieser immer gegen ln(a) konvergiert.

jawoll, (ah – 1)/h strebt für h → 0 tatsächlich immer gegen ln a, und diese Aussage ist sogar ziemlich fundamental. Das kann man daran sehen, dass in den Beweis die Definition der e-Funktion eingeht:

\frac{a^h - 1}{h} = x
\quad\Longleftrightarrow\quad
a^h = 1 + h x
\quad\Longleftrightarrow\quad
a = (1 + h x)^{1/h}

Die Substitution r := 1/h führt auf (beachte: h → 0 ist gleichwertig zu r → ∞)

a = \lim_{r\rightarrow\infty}\Big(1 + \frac{x}{r}\Big)^r = e^x
\quad\textnormal{(Definition der e-Funktion!)}

\Longleftrightarrow\quad x = \ln a

Alles klar? :smile:

Gruß
Martin

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Hallo;

dankeschön, das war so ungefähr das was mir gefehlt hat =)

mfG