Ableitung von a^x

Wissenschaft Physik
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Hallo www-er,
Ich beschäftige mich gerade mit der Ableitung der Funktion f(x)=a^x für alle x € R und festem Paramter a > 0. Nach meinem schlauen Buch soll das so geschehen:

limh->0= lim[h->0]a^(x)*((a^h - 1)/(h))= a^(x)*ln(a)

warum muss lim[h->0]((a^h - 1)/(h)) = ln(a) sein? Das verstehe ich nicht. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Wäre echt toll.

Gruss,
Timo

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warum muss lim[h->0]((a^h - 1)/(h)) = ln(a) sein?

Eventuell wird da a^h = exp(h*ln(a)) gesetzt und dann die Reihenentwicklung der exp-Funktion verwendet.

Wäre aber irgendwie unlogosch, denn wenn schon die exp-Funktion herangezogen wird, wieso nicht gleich am Anfang a^x = exp(x*ln(a)) setzen und einfach nach der guten alten Kettenregel ableiten?

Gruß
Oliver

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Daran hab ich auch schon gedacht. Aber der Autor meines Buches (es handelt sich da um den Heuser, „Analysis 1“) wollte a^x ganz elementar über den Differentialquotienten ableiten. Da muss ein ganz einfacher Trick dahinter stecken, weil der Beweis wirklich nur die Zeilen beinhaltet, die ich hier gepostet habe. Insbesondere folgert er dann daraus, dass sich e^(x) beim Ableiten reproduziert, weil ln(e)=1.

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

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Da
muss ein ganz einfacher Trick dahinter stecken, weil der
Beweis wirklich nur die Zeilen beinhaltet, die ich hier
gepostet habe.

Ich könnte mir höchstens noch vorstellen, dass er weiter vorne einfach den Logarithmus einer Zahl a über diesen Grenzwert

ln(a) := lim[h->0]((a^h - 1)/(h))

definiert hat. Denn wäre es in der Tat trivial.

Gruß
Oliver

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Hallo Timo,

(es handelt sich da um den Heuser, „Analysis 1“)

der Beweis von „lim ((ax –1)/x) = ln a“ steht weiter vorne im besagten Buch. Sieh mal nach unter dem Kapitel „Veränderungsprozesse und Exponentialfunktion“.

In Kürze:

limn → ∞ (1 + 1/n)n = e

limx → 0 (1 + x)1/x = e

Logarithmieren beider Seiten liefert:

limx → 0 ln(1 + x)/x = 1

Und denselben Grenzwert hat der Kehrwert:

limx → 0 x/ln(1 + x) = 1 [*]

Frage:

limx → 0 (ax – 1)/x = ?

Antwort:

Substituiere ax – 1 durch y:

ax – 1 =: y
==>

  1. x = loga (y + 1) = ln(y + 1)/ln a
  2. Wenn x gegen Null geht, dann geht auch y gegen 0

Damit folgt:

limx → 0 (ax – 1)/x

= limy → 0 y/(ln(y+1)/ln(a))

= (limy → 0 y/ln(y+1)) ln(a)

Der lim ist gleich 1 wegen [*]

= ln(a)

Gruß
Martin

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Danke schön!