Ableitung von Matrix nach Vektor

Wissenschaft Physik
#1

Hy,

wenn ich eine mxn-Matrix A nach einem n-Vektor x ableite, dann bekomme ich doch n mxn-Matrizen, in denen jeweils die abgeleiteten Werte der Matrix A nach einem der entsprechenden Elemente des n-Vektor x stehen, korrekt?

Nun meine Frage: Wie sieht denn die Struktur einer der abgeleiteten Matrizen aus? Ich suche so was in der Art: Das erste Element ist A(1,1)/dx1,…
Welche Elemente von A stehen wo und nach welchem Element von x werden sie abgeleitet?

Im Internet konnte ich bisher nur eine Seite finden auf der anschaulich die Ableitung einer Matrix nach einem Vektor gezeigt wurde, und die finde ich nicht mehr.

Gruß, Lars

#2

Hallo!
Ich weiß nicht ob ich dich richtig verstehe. Zunächst ist eine Matrix ein Repräsentant für eine lineare Abbildung, also Ableitung=Matrix. Wenn du allerdings eine Matrix hast, deren mxn Einträge Funktionen sind, dann würd ich das mal so interpretieren: Angenommen du hast n Funktionen, welche im R^k operieren, also F(X)=(f1(x1,…,xk),…,fn(x1,…,xk)), dann kann man die mehrdimensionale Ableitung darstellen durch die Jacobimatrix DF=(dfi/dxj). Wenn du nun statt einem F m Stück davon hast, dann würde es sinn machen, diese m Jacobimatrizen untereinander zu schreiben. Gesehen hab ich sowas aber noch nicht.

Viele Grüße
mauschu

#3

Ich habe ehrlich gesagt nicht verstanden, was du genau meinst. Vllt kannst du es genauer erklären, dann kann dir besser geholfen werden

Greetz,
Timo

#4

Hallo,

wenn ich eine mxn-Matrix A nach einem n-Vektor x ableite, dann
bekomme ich doch n mxn-Matrizen, in denen jeweils die
abgeleiteten Werte der Matrix A nach einem der entsprechenden
Elemente des n-Vektor x stehen, korrekt?

du bildest also aus einem Tensor 2. Stufe A (repräsentiert durch eine Matrix von Koordinaten A_{ij}) z.B. (in einem flachen Raum) durch gewöhnliche partielle Differentiation einen Tensor 3. Stufe B, der durch seine Koordinaten
B_{ijk} = ∂_i A_{jk}
gegeben ist?

Für die Komponenten-Darstellung von Tensoren, wie du sie offenbar suchst, dürfte physikalische Literatur (Allgemeine Relativitätstheorie) besser geeignet sein, als mathematische, die meist mehr wert auf das abstrakte Objekt legt.

–
Philipp

#5

du bildest also aus einem Tensor 2. Stufe A (repräsentiert
durch eine Matrix von Koordinaten A_{ij}) z.B. (in einem
flachen Raum) durch gewöhnliche partielle Differentiation
einen Tensor 3. Stufe B, der durch seine Koordinaten
B_{ijk} = ∂_i A_{jk}
gegeben ist?

Für die Komponenten-Darstellung von Tensoren, wie du sie
offenbar suchst, dürfte physikalische Literatur (Allgemeine
Relativitätstheorie) besser geeignet sein, als mathematische,
die meist mehr wert auf das abstrakte Objekt legt.
Philipp

Soweit hast Du das richtig verstanden, nur mit der Reihenfolge der Indizes bin ich mir unsicher…

Also, da meine Frage offensichtlich nicht gut erklärt war, hier nochmal die zu lösende Aufgabenstellung:

Ich habe eine Matrix von der ich die Fréchet-Ableitung bilden soll. In dem Paper, dass ich bearbeite steht, dazu folgendes: (aus dem Englischen übersetzt)

„Da die mxn-Matrix A eine nichtlineare Abbildung von Rn nach Rmxn ist, kann die Ableitung von A als dreidimensionaler Tensor (dein Tensor 3.Stufe) interpretiert werden, der aus n mxn-Matrizen gebildet wird. Dabei enthält jede Matrix die partielle Ableitung der Elemente von A bezüglich des entsprechenden Elements des Vektors x.“

Die Matrix A hängt wie folgt von x ab:
aij = bij*e^(-Summe über Index k von xi*aik)

A ist also eigentlich eine Matrixfunktion.

Ich glaube auch, dass ich jetzt die Lösung habe:
Ich erhalte als Ableitung soviele Matrizen, wie mein x Elemente hat. Die erste partielle Ableitung wäre also eine Matrix, die alle Elemente von A abgeleitet nach dem ersten Element von x enthält.

Dafür benutze ich wohl am besten die Formel
f’(x) = {f(x + h)-f(x)} / (x+h) ,
wobei h ein Vektor ist der einen Eintrag ungleich Null hat für das Element von x nach dem ich ableite und die f()-Terme für die Matrixeinträge von A stehen.

Soweit alles korrekt?

Danke für eure Mühen,
Lars