Ableitung von verketteten Funktionen

Wissenschaft Physik
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Hallo zusammen,

Also Ich bin auf dem Gymnasium in der Stufe 12. Ich soll ein „Kurzreferat“ über die „Ableitung von verketteten Funktionen“ halten.

Ich habe mir dazu die Erläuterung in meinem Mathebuch durchgelesen, diese aber etwas verändert, weil ich es so einfacher zu verstehen finde.

Ich bin mir jetzt leider nicht sicher, ob diese Ableitung noch Mathematisch vollkommen korrekt ist (ich denke eig. schon) aber genau deshalb würde ich mich freuen, wenn mir das jemand bestätigen kann oder aber mir Tipps zur Veränderung geben kann.

Hier das Referat:

  1. Wir haben einen Term: f(x) = u(v(x))

  2. Wir wissen die Ableitung wird durch den Term:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) bestimmt.

  3. Den in 2. genannten Term erweitern wir jetzt mit „v(x) - v(a)“
    =>f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) * (v(x)-v(a))/(x-a)

  4. Den Term aus 3. können wir so umstellen:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) * lim(x->a)(v(x)-v(a))/(x-a)

  5. Der Teilterm „lim(x->a) (v(x)-v(a))/(x-a)“ = v’(a).

  6. Bei dem Teilterm „lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a))“ können wir
    „lim(x->a)“ durch „lim(v(x)->v(a))“ ersetzen und f(x) durch u(v(x))
    genauso wie f(a) durch u(v(a)).

  7. => der Teilterm: lim(v(x)->v(a)) (u(v(x))-U(V(a)))/(v(x)-v(a))
    = u’(v(a))

  8. Beide Teilterme zusammen ergeben dann: f’(a) = u’(v(a)) * v’(a)

Danke für jeden Tipp, ich hoffe das Referat ist soweit fehlerfrei (von Rechtschreibfehlern mal abgesehen :wink: ).
Wenn nicht, dann antwortet mir bitte und gebt mir einen Tipp zur Verbesserung.

MFG:

Tobias M.

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Hallo,

ich habe keine Fehler entdeckt, aber Ungenauigkeiten in der Notation.

Wenn du eine Funktion f(x) hast, meint man mit f’(x) die Ableitung nach dem Argument , d.h. wenn du f’(a) schreibst, ist damit die Ableitung von f nach a (und nicht nach x) gemeint.
Wenn du also „f’(x) an der Stelle a“ schreiben willst, müsstest du
df(x) / dx |_a schreiben (also ein Bruch mit Zähler df(x), Nenner dx und daneben einen senkrechten Stricht, an dem unten ein a steht).

In der Schule nimmt das meistens nicht sooo genau…

wenn du f(v(x)) hast, sollstest du dann auch schreiben
df/dx = df/dv * dv/dx.

Noch eine Kleinigkeit:

  1. Den in 2. genannten Term erweitern wir jetzt mit „v(x) -
    v(a)“
    =>f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) *
    (v(x)-v(a))/(x-a)

  2. Den Term aus 3. können wir so umstellen:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) *
    lim(x->a)(v(x)-v(a))/(x-a)

Wieso darf man den Limes des Produkts in ein Produkt von zwei Limes umschreiben? Wenn darf man das?

Grüße,
Moritz

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Hey,

Danke schonmal für die Tipps.

Aber ich weiß jetzt echt nicht, wann man das mit dem limes eines Produkts machen darf, ich bin jetzt irgendwie davon ausgegangen, dass man das einfach machen darf, … oder vll. wenn beide grenzwerte existieren, … aber ich wüsste nicht wie ich das erklären soll, könntest du mir da vll. helfen?

Danke schonmal im Vorraus!

MFG:

Tobias M.

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Reicht es zu sagen, wir können das Limes Produkt so umstellen, wenn beide Grenzwerte existieren, und beide Grenzwerte existieren, da wir davon ausgehen, dass v an der Stelle a differenzierbar ist.

Wenn v an der Stelle a nicht differenzierbar wäre, könnte man keine Ableitung bilden. Also müssen wir davon ausgehen.

Wäre das eine Erklärung??

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hi,

Hier das Referat:

  1. Wir haben einen Term: f(x) = u(v(x))
  2. Wir wissen die Ableitung wird durch den Term:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(x-a) bestimmt.

ok.

  1. Den in 2. genannten Term erweitern wir jetzt mit „v(x) -
    v(a)“
    =>f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) *
    (v(x)-v(a))/(x-a)

ich weiß nicht genau, was hier unter einem „referat“ erwartet wird. für mich klingt referat schon so, dass man auch einen begriff von der idee - wie kommt es zu dieser „erweiterung“? ist das mathematischer hokuspokus oder könnte man da auch draufkommen? - geben könnte. möglich wäre das anhand von beispielen.

  1. Den Term aus 3. können wir so umstellen:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) *
    lim(x->a)(v(x)-v(a))/(x-a)

… falls diese limites existieren (was nicht völlig selbstverständlich ist.)

  1. Der Teilterm „lim(x->a) (v(x)-v(a))/(x-a)“ = v’(a).

ok.

  1. Bei dem Teilterm „lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a))“
    können wir
    „lim(x->a)“ durch „lim(v(x)->v(a))“ ersetzen und f(x)
    durch u(v(x))
    genauso wie f(a) durch u(v(a)).

ok, falls v stetig ist. (was i.a. der schulmathematik natürlich der fall ist.)

  1. => der Teilterm: lim(v(x)->v(a))
    (u(v(x))-U(V(a)))/(v(x)-v(a))
    = u’(v(a))

kein grund für groß-U und groß-V; sonst ok.

  1. Beide Teilterme zusammen ergeben dann: f’(a) = u’(v(a)) *
    v’(a)

hth
m.

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Hey!

  1. Den Term aus 3. können wir so umstellen:
    f’(a) =lim(x->a) (f(x)-f(a))/(v(x)-v(a)) *
    lim(x->a)(v(x)-v(a))/(x-a)

… falls diese limites existieren (was nicht völlig
selbstverständlich ist.)

Kann mir jemand erklären, warum ich das nur umstellen darf, wenn beide Grenzwerte existieren.

Und müssen die nicht beide Existieren, wenn man vorraussetzt, dass v an der stelle a differenzierbar ist und u an der stelle v(a) differenzierbar ist?

MFG:

Tobias M.

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Hallo,

… falls diese limites existieren (was nicht völlig
selbstverständlich ist.)

Kann mir jemand erklären, warum ich das nur umstellen darf,
wenn beide Grenzwerte existieren.

Ein Beispiel: (x -> 0):
lim 1/x * sin(x) = 1
(Mit Regel von de l’Hospital, oder Sinus in Taylor-Reihe entwickeln).

Aber lim 1/x * lim sin(x) = Unendlich * 0.

Ist das einleuchtend?

Grüße,
Moritz

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Ein Beispiel: (x -> 0):
lim 1/x * sin(x) = 1
(Mit Regel von de l’Hospital, oder Sinus in Taylor-Reihe
entwickeln).

Aber lim 1/x * lim sin(x) = Unendlich * 0.

Ist das einleuchtend?

Grüße,
Moritz

Jo, das ist einleuchtend, aber woran sehe ich denn jetzt ob ich die limes außeinander ziehen darf oder nicht??

Das habe ich glaub ich immernoch nicht so richtig verstanden.

Danke für eure Hilfe und Geduld.

MFG:

Tobias M.