hi,
also die Funktion f(x)= |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, aber wieso nicht? Wie kann ich das erklären?
Hallo Frodo,
also die Funktion f(x)= |x| ist an der Stelle 0 nicht
differenzierbar, aber wieso nicht? Wie kann ich das erklären?
Für die Diffenrenzierbarkeit einer Funktion an einer bestimmten Stelle a, muß der Grenzwert des Differenzenquotienten existieren:
limx -> a (f(x)-f(a))/(x-a).
Nähert sich man von „rechts“ an die Stelle an, also von der positiven Seite (x > 0), so ist im Falle der Betragsfunktion und der Stelle 0
limx+ -> 0 (|x|-0)/(x-0) = limx+ -> 0 x/x = 1
Nähert sich man von „links“ an die Stelle an, also von der negativen Seite (x x- -> 0 (|x|-0)/(x-0) = limx+ -> 0 -x/x = -1
Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle 0 ist bei der Betragsfunktion also nicht eindeutig, daher existiert er nicht. Somit ist die Betragsfunktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
Grüße
Mathemat
Hallo,
also die Funktion f(x)= |x| ist an der Stelle 0 nicht
differenzierbar, aber wieso nicht? Wie kann ich das erklären?
Wenn du dich von links und rechts näherst hat die Ableitung jeweils einen anderen Wert.
Grüße,
Moritz
Sorry, ich hab mich bei der zweiten Limesbetrachtung vertippt. Es muss
limx- -> 0 (|x|-0)/(x-0) = limx- ->0 -x/x = -1
heißen, also statt x+ muß da x- stehen.
Hallo,
geometrisch kann man sich die Ableitung doch so erklären: Man legt in dem betrachteten Punkt die Tangente an die Kurve. Also eine Gerade, die die betrachtete Kurve nur in diesem einen Punkt berührt. Und der Anstieg dieser Geraden ist dann der Anstieg der Kurve in diesem Punkt, also die erste Ableitung.
An die Betragsfunktion kannst Du im Punkt x=0 auch ne Tangente legen, aber sogar mehrere bzw. unendlich viele. Die Tangente ist also nicht eindeutig. Also existiert die Ableitung da nicht.
Olaf