Hossa 
Ja, das ist gar nicht so einfach zu verstehen, seitdem die Mathematiker darüber hergefallen sind. Betrachtet man partielle und totale Ableitung etwas physikalischer, wird plötzlich vieles klarer.
Bei der partielle Ableitung einer Funktion f(x,y) nach einer ihrer Variablen tut man so, als würde sich nur eine Variable ändern (nämlich die, nach der man ableitet) und hält alle anderen Variablen konstant.
In deinem Beispiel ist f(x,y)= x²y²
Also ist del f/del x= 2xy² und del f/del y= 2x²y
Stell dir nun vor, dass x und y die Position eines Gegenstandes beschreiben. Dann hängt die Funktion f(x,y) von der Position des Gegenstandes ab. Mit Änderung der Position ändert sich der Wert der Funktion f. Andererseits hängt die Position des Gegenstandes von der Zeit t ab, weil beide Ortsvariablen x und y von der Zeit abhängen:
x= x(t) und y= y(t)
Das heisst, x und y können nicht als unabhängig voneinander vorausgesetzt werden. Eine Änderung von x hat im Allgemeinen auch eine Änderung von y zur Folge und umgekehrt. Denke etwa an die Bewegung auf einer Kreisbahn, bei der x und y über die Kreisgleichung x²+y²=r² miteinander verknüpft sind.
Wenn du nun wissen möchtest, wie sich die Funktion f physikalisch real verändert, ist die „totale“ Ableitung gefragt. Also eine Ableitung nach einer Variablen t, von der alle anderen Variablen, x(t) und y(t), abhängen.
df/dt= d f(x(t),y(t)) / dt
Zur Berechnung hast du 2 Möglichkeiten.
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Du setzt in die Funktion f die Funktionsgleichungen für x(t) und y(t) ein, so dass f nur noch von t abhängt, f=f(t), und leitest normal nach t ab.
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Du nutzt die aus der Mathematik bekannte Regel zur Berechnung totaler Differenziale, um mit Hilfe partieller Ableitungen auf dasselbe Ergebnis zu kommen:
df/dt = del f(x,y)/del x * dx/dt + del f(x,y)/del y * dy/dt
Im Prinzip sind partielle Ableitungen nur eine Hilfe oder ein Zwischenschritt zur Berechnung der totalen Ableitung.
Viele Grüße
Stefan