Ableitungen: Kettenregel

Wissenschaft Physik
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Hallo Experten,

die Kettenregel lautet kurz:

(f(g(x)))’ = f’(g(x)) * g’(x)

Wenn ich aber (f(g(h(x)))) - also noch einmal mehr geschachtelt - ableiten möchte, ist das dann

(f(g(h(x))))’ = f’(g(f(x)) * g’(f(x)) * f’(x)

oder habe ich etwas vergessen? Wir sollen nämlich etwas bezüglich der Verhulst-Gleichung u(t) zeigen. Die Gleichung selbst haben wir nicht erhalten (steht aber bestimmt irgendwo im Internet und werden wir garantiert noch intensiv durchkauen), sondern nur deren Ableitung:

u’(t) = R * u(t) * (1 - u(t)/K)

Nun wird behauptet, dass die logistische Funktion die Verhulst-Gleichung erfüllt. Dies sollen wir zeigen. Das wäre ja dann quasi die Verhulst-Gleichung. Die log. Fu. lautet:

L(t) = K / (1 + exp(4-Rt))

oder von mir umgeformt:

L(t) = K * (1 + exp(4-Rt))^(-1)

K und R sind Konstanten. Es ist doch nun so, dass ich L(t) ableiten und dann versuchen muss, die Ableitung in die Form L’(t) = R * L(t) * (1 - L(t)/K) zu bringen. Genau das habe ich versucht, ich stehe auch kurz davor, doch es bleibt ein doofer Rest, den ich nicht unterzubringen in der Lage bin.

Ich habe es so auseinandergedröselt:

äußere Funktion: a(t) = K * (t)^(-1)
mittlere Funktion: b(t) = 1 + exp(t)
innerste Funktion: c(t) = 4 - Rt

Also lautet die Ableitung meines Erachtens (wenn da oben alles stimmt, ohne weitere Umformungen, ganz streng nach der Regel, nach t abgeleitet):

L’(t) = (-K)*(1-exp(4-Rt))^(-2) * exp(4-Rt) * (-R)

Nun sind mir aus beschriebenem Grund (der Rest) Zweifel an der Richtigkeit dieser meiner Ableitung aufgekommen. Darum also die Frage nach der Kettenregel bzw. deren Erweiterung. Oder liegt’s doch eher an meiner fehlerhaften Weiterverarbeitung?

Wäre lieb, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Gruß
Huttatta

2

Hallo,

die Kettenregel lautet kurz:

(f(g(x)))’ = f’(g(x)) * g’(x)

Das ist schon mal gar nicht schlecht aber etwas ungenau. Denn man nimmt normalerweise an dass f’ f nach x abgeleitet ist, also df/dx. Der erste Term stimmt also nicht ganz, es müsste df(g)/dg heissen.

Damit ist dann auch die Kettenregel für drei Funktionen leichter einsichtilich:

df(g(h(x)))/dx = df(g(h(x)))/dg * dg(h(x))/dx.
Der zweite Term ist (wieder mit Kettenregel)
dg(h(x))/dx = dg(h)/dh * dh(x)/dx

Wenn ich aber (f(g(h(x)))) - also noch einmal mehr
geschachtelt - ableiten möchte, ist das dann

(f(g(h(x))))’ = f’(g(f(x)) * g’(f(x)) * f’(x)

Das stimmt wenn du als f’ nicht die Ableitung nach x sondern nach g meinst etc.

oder habe ich etwas vergessen? Wir sollen nämlich etwas
bezüglich der Verhulst-Gleichung u(t) zeigen. Die
Gleichung selbst haben wir nicht erhalten (steht aber bestimmt
irgendwo im Internet und werden wir garantiert noch intensiv
durchkauen), sondern nur deren Ableitung:

u’(t) = R * u(t) * (1 - u(t)/K)

Moment. Das ist eine Differentialgleichung, also eine Gleichung in der sowohl die Funktion selbst als auch ihre Ableitung vorkommt. Und u(t) ist keine Gleichung sondern eine Funktion

Nun wird behauptet, dass die logistische Funktion die
Verhulst-Gleichung erfüllt. Dies sollen wir zeigen. Das
wäre ja dann quasi die Verhulst-Gleichung. Die log.
Fu. lautet:

L(t) = K / (1 + exp(4-Rt))

oder von mir umgeformt:

L(t) = K * (1 + exp(4-Rt))^(-1)

K und R sind Konstanten. Es ist doch nun so, dass ich L(t)
ableiten und dann versuchen muss, die Ableitung in die Form
L’(t) = R * L(t) * (1 - L(t)/K) zu bringen. Genau das habe ich
versucht, ich stehe auch kurz davor, doch es bleibt ein doofer
Rest, den ich nicht unterzubringen in der Lage bin.

Ich habe es so auseinandergedröselt:

äußere Funktion: a(t) = K * (t)^(-1)
mittlere Funktion: b(t) = 1 + exp(t)
innerste Funktion: c(t) = 4 - Rt

Also lautet die Ableitung meines Erachtens (wenn da oben alles
stimmt, ohne weitere Umformungen, ganz streng nach der Regel,
nach t abgeleitet):

L’(t) = (-K)*(1-exp(4-Rt))^(-2) * exp(4-Rt) * (-R)

Ich hab die Ableitung mal nachgerechnet, ich hab das gleiche Ergebnis raus.

Nun sind mir aus beschriebenem Grund (der Rest) Zweifel an der
Richtigkeit dieser meiner Ableitung aufgekommen. Darum also
die Frage nach der Kettenregel bzw. deren Erweiterung. Oder
liegt’s doch eher an meiner fehlerhaften Weiterverarbeitung?

wohl eher daran. Du musst jetzt nur noch L(t) in die rechte Seite deiner Differenzialgleichung einsetzen und zeigen dass das gleiche 'rauskommt wie die Ableitung. Ich bin grad etwas zu faul das zu rechnen, aber wenn du nicht weiter kommst kann ich mich gerne nochmal dransetzen.

Grüße,
Moritz (der ein ganzes Semester in Mathe nur Lösen von DGLs hört :frowning:))

3

Hallo,

(f(g(x)))’ = f’(g(x)) * g’(x)

ja

(f(g(h(x))))’ = f’(g(f(x)) * g’(f(x)) * f’(x)

nein (hast Du Dich nur verschrieben?)

(f(g(h(x))))’ = f’(g(h(x)) * g’(h(x)) * h’(x)

u’(t) = R * u(t) * (1 - u(t)/K)

L(t) = K / (1 + exp(4-Rt))

K und R sind Konstanten. Es ist doch nun so, dass ich L(t)
ableiten und dann versuchen muss, die Ableitung in die Form
L’(t) = R * L(t) * (1 - L(t)/K) zu bringen.

Na ja, Du machst dreierlei:

  1. Du setzt für das u(t) in dem Ausdruck R * u(t) * (1 - u(t)/K) den Term K/(1 + exp(4-Rt)) ein und vereinfachst so weit wie möglich.

  2. Du bildest die erste Ableitung von K/(1 + exp(4-Rt)) und vereinfachst so weit wie möglich.

  3. Du überprüfst, ob die Ergebnisse aus 1 und 2 übereinstimmen.

L’(t) = (-K)*(1-exp(4-Rt))^(-2) * exp(4-Rt) * (-R)

Korrekt, wobei die beiden Minuszeichen noch verzichtbar sind:

L’(t) = R K (1-exp(4-Rt))^(-2) * exp(4-Rt)

liegt’s doch eher an meiner fehlerhaften Weiterverarbeitung?

Ja, rechne es einfach nochmal neu.

Gruß
Martin

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Hallo Martin,

(f(g(h(x))))’ = f’(g(f(x)) * g’(f(x)) * f’(x)

nein (hast Du Dich nur verschrieben?)

(f(g(h(x))))’ = f’(g(h(x)) * g’(h(x)) * h’(x)

Ja, ich habe mich verschrieben.

Vielen Dank, ich werde es also in Ruhe nochmal versuchen.

Gruß
Huttatta

5

Hallo Moritz,

df(g(h(x)))/dx = df(g(h(x)))/dg * dg(h(x))/dx.
Der zweite Term ist (wieder mit Kettenregel)
dg(h(x))/dx = dg(h)/dh * dh(x)/dx

dann ist’s ja so, wie ich dachte. Danke!

Gruß Huttatta

6

Fertig!
… Ich musste aber für meine Verhältnisse ganz schön tief in die Trickkiste greifen.

Gruß
Huttatta