Hallo ihr Lieben,
ich hab eine dringende Frage, und zwar hab ich eine Funktion und bräuchte davon unbedingt die erste und zweite Ableitung, um dann eine Kurvendiskussion durchzuführen. Nur leider waren meine Versuche bis jetzt falsch. Deswegen frag ich euch jetzt mal.
hier die Funktion:
y= f(x) = [7+(3/x)]*e^(1/x)
Ich weiß, dass es irgendwie mit der Kettenregel gehen muss, nur leider komm ich nicht dahinter…
Schon mal danke im Vorraus für euer Bemühen!
Liebe Grüße Benni
Hallo.
\left(7+\frac{3}{x}\right)\times \exp\big(1/x\big)
Ich weiß, dass es irgendwie mit der Kettenregel gehen muss,
nur leider komm ich nicht dahinter…
Worin liegt denn genau das Problem? Zuerst arbeitest Du mit der Produktregel, wobei der eine Faktor 7+3/x ist und der andere Faktor e^(1/x). Und zum Ableiten der Exponentialfunktion nimmst Du – wie Du ja selber richtig schreibst – die Kettenregel, also
\Big(\exp\big(g(x)\big)\Big)^\prime = g^\prime(x)\times\exp\big(g(x)\big).
Schon mal danke im Vorraus für euer Bemühen!
Wo bitte? Das heisst immer noch „im Voraus“!
TN
Hab mich mal versucht
(7+(3/x)*e^(1/x)
f’(x) = (3/x^2)*e^(1/x) + (7+(3/x))*(1/x)*e^(1/x)
f’(x) = (3/x^2)*e^(1/x) + (7/x)*e^(1/x) + (3/x^2)*e^(1/x)
f’(x) = (e^(1/x))*((6/x^2)+(7/x))
f’’(x) = (1/x)*e^(1/x) * ((6/x^2)+(7/x)) + e^(1/x) * ((6/x^3)+(7/x^2)
f’’(x) = e^(1/x) * ((12/x^3)+ (14/x^2))
f’’(x) = (1/x)*e^(1/x) * ((6/x^2)+(7/x)) + e^(1/x) * ((6/x^3)+(7/x^2)
Da fehlt am Ende eine Klammer
erst mal danke für die antworten!
ja das mit der produktregel versteh ich, aber ich versteh die kettenregel nicht, wie kommst du da auf das g(x)?
liebe grüße benni
Das ist in dem Fall nur ne andere Bezeichnung für den Exponenten…
Also in dem Fall 1/x
Hallo.
(7+(3/x)*e^(1/x)
f’(x) = (3/x^2)*e^(1/x) + (7+(3/x))*(1/x)*e^(1/x)
Vorsicht, die Ableitung von 1/x ist -1/(x^2)!
TN
Hossa Benni 
Die Ableitung einer Exponential-Funktion ist eigentlich ganz einfach, weil du nur den Exponenten ableiten musst und das Ergebnis mit der Exponential-Funktion multiplizieren musst:
e^{f(x)}\to f’(x)\cdot e^{f(x)}
Das folgt unmittelbar aus der Anwendung der Kettenregel. Zur Erklärung schreibe ich die Exponential-Funktion im Folgenden aus, dann sieht man es besser:
\exp\left[f(x)\right]
sind zwei Funktionen, die hintereinander ausgeführt werden. Zuert wirkt die Funktion f auf das x. Anschließend wirkt die exp-Funktion auf das Ergebnis f(x). Wir haben also zwei Schritte, die wir mit einer Hilfsvariable z getrennt schreiben könnnen.
Innen wirkt f auf x, das Ergebnis sei z:
z=f(x)
Außen wirkt die exp-Funktion auf z:
\exp(z)
Bei der Ableitung greift die Kettenregel („äußere mal innere“). Da die Ableitung der exp-Funktion die exp-Funktion selber ist, lautet die äußere Ableitung:
\left(\exp(z)\right)’=\exp(z)
Die Ableitung der inneren Funktion ist:
z’=f’(x)
Beide Ableitungen miteinander multipliziert ergibt die Ableitung der Gesamtfunktion:
\exp\left[f(x)\right]\to\exp(z)\cdot f’(x)
Jetzt musst du nur das z wieder durch f(x) ersetzen und bist fertig:
\exp\left[f(x)\right]\to\exp\left[f(x)\right]\cdot f’(x)
Viele Grüße
Hase