Ableitungsregeln (sehr lang)
Hossa 
Offenbar fehlen dir die Grundlagen der Differentialrechnung. Da ich sehe, dass du dich sehr bemühst, habe ich mir auch mal die Mühe gemacht, die Grundlagen hier aufzuschreiben. Kennen geht über er-KENNEN, daher habe ich dir die einzelnen Regeln recht ausführlich hergeleitet.
Summenregel
Angenommen, du hast 2 Funktionen, u(x) und v(x). Von beiden gebe es die Ableitungen, also u’(x) und v’(x). Wir fragen nun, wie die Ableitung der Summe der beiden Funktionen ist. Dazu definieren wir die Hilfsfunktion w(x):
w(x):=u(x)+v(x)
Zur Ableitung von w(x) müssen wir den Differentialquotienten berechnen:
w’(x)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h)-w(x)}{h}
w’(x)=\lim_{h\to0}\frac{\left[u(x+h)+v(x+h)\right]-\left[u(x)+v(x)\right]}{h}
w’(x)=\lim_{h\to0}\left[\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right]
w’(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
w’(x)=u’(x)+v’(x)
Oder in Kurzform:
(u+v)’=u’+v’
Produktregel
Angenommen, du hast 2 Funktionen, u(x) und v(x). Von beiden gebe es die Ableitungen, also u’(x) und v’(x). Wir fragen nun, wie die Ableitung des Produktes der beiden Funktionen ist. Dazu definieren wir die Hilfsfunktion w(x):
w(x):=u(x)\cdot v(x)
Zur Ableitung von w(x) müssen wir den Differentialquotienten berechnen:
w’(x)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h)-w(x)}{h}
Wir lassen den Grenzwert erstmal weg und schauen uns zunächst nur den Differenzenquotienten an:
\frac{w(x+h)-w(x)}{h}=\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}
Daraus machen wir zwei Brüche:
\frac{u(x+h)\cdot v(x+h)}{h} -\frac{u(x)\cdot v(x)}{h}
Zu diesen beiden Brüchen addieren wir nun
\frac{u(x)\cdot v(x+h)}{h}
und ziehen es direkt wieder ab, damit sich der Wert des Differenzenquotienten nicht ändert:
\frac{u(x+h)v(x+h)}{h}-\frac{u(x)v(x)}{h}+\frac{u(x)\cdot v(x+h)}{h}-\frac{u(x)\cdot v(x+h)}{h}
Nun fassen wir den ersten und den vierten sowie den zweiten und den dritten Bruch zusammen:
\left[\frac{u(x+h)v(x+h)}{h}-\frac{u(x)\cdot v(x+h)}{h}\right]+\left[\frac{u(x)\cdot v(x+h)}{h}-\frac{u(x)v(x)}{h}\right]
Die Brüche in den Klammern addieren wir:
\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}+
\frac{u(x)\cdot v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
und vereinachen das ganze Zeugs:
\frac{\left[u(x+h)-u(x)\right]\cdot v(x+h)}{h}+
\frac{u(x)\cdot\left[v(x+h)-v(x)\right]}{h}
\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot v(x+h)+
u(x)\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
So, nach diesem ganzen Geturne können wir den Differenzenquotienten von w(x) nun wie folgt schreiben:
\frac{w(x+h)-w(x)}{h}=\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\cdot v(x+h)+u(x)\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
Die Ableitung w’(x) erhalten wir, indem wir h unendlich klein machen, also gegen 0 laufen lassen. Für h gegen 0 wird aus dem vorigen:
\underbrace{\frac{w(x+h)-w(x)}{h}}_{=w’(x)}=\underbrace{\frac{u(x+h)-u(x)}{h}}_{=u’(x)}\cdot\underbrace{v(x+h)}_{=v(x)}+u(x)\cdot\underbrace{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}_{v’(x)}
Wegen w(x)=u(x)*v(x) haben wir damit die sog. „Produktregel“ der Differentialrechnung gefunden:
\left[u(x)\cdot v(x)\right]’=u’(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v’(x)
Oder in der allgemein bekannten Kurzfassung:
(uv)’=u’v+uv’
Sonderfall: Multiplikation mit einer Konstanten
Die Ableitung einer Konstanten a ist 0. Das ist sofort klar, weil die Funktion f(x)=a parallel zur x-Achse verläuft und daher die Steigung 0 hat. Wie sieht es nun aus, wenn eine beliebige Funktion f(x) mit einer beliebigen Konstante a multipliziert wird. Wie ist die Ableitung von a*f(x)? Hier hilft die Produktregel weiter:
\left[a\cdot f(x)\right]’=(a)’\cdot f(x)+a\cdot f’(x)=0\cdot f(x)+a\cdot f’(x)= a\cdot f’(x)
Also nochmal zusammengefasst:
\left[a\cdot f(x)\right]’= a\cdot f’(x)
Die Konstante bleibt bei der Ableitung also einfach als Vorfaktor erhalten.
Quotientenregel
Sonderfall: Ableitung des Kehrwertes einer Funktion
Zur Vorbereitung der Herleitung betrachten wir die Ableitung des Kehrwertes einer Funktion u(x). Sei also:
f(x)=\frac{1}{u(x)}
Zur Bestimmung der Ableitung brauchen wir wieder den Differentialquotienten:
f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{u(x+h)}-\frac{1}{u(x)}}{h}
Die beiden Brüche im Zähler bringen wir auf den Hauptnenner und addieren sie:
f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{u(x)}{u(x+h)\cdot u(x)}-\frac{u(x+h)}{u(x+h)\cdot u(x)}}{h}=
\lim_{h\to0}\frac{\frac{u(x)-u(x+h)}{u(x+h)\cdot u(x)}}{h}
Der Bruch lässt sich noch etwas umformen:
f’(x)=
\lim_{h\to0}\left[\frac{u(x)-u(x+h)}{h}\cdot\frac{1}{u(x+h)\cdot u(x)}\right]
f’(x)=
\lim_{h\to0}\left[-\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right]\cdot\lim_{h\to0}\left[\frac{1}{u(x+h)\cdot u(x)}\right]
f’(x)=-u’(x)\cdot\frac{1}{\left[u(x)\right]^2}
Damit haben wir die Ableitung des Kehrwertes einer Funktion gefunden:
\left(\frac{1}{u(x)}\right)’=-\frac{u’(x)}{\left[u(x)\right]^2}
Nun kommen wir zur allgemeinen Quotientenregel. Dazu seien wieder 2 Fuktionen u(x) und v(x) gegeben. Von beiden gebe es die Ableitungen, also u’(x) und v’(x). Wir fragen nun, wie die Ableitung des Quotienten der beiden Funktionen ist. Dazu definieren wir die Hilfsfunktion w(x):
w(x)=\frac{u(x)}{v(x)}
Wir schreiben die Funktion w(x) etwas um:
w(x)=u(x)\cdot\frac{1}{v(x)}
und wenden darauf die Produktregel an:
w’(x)=u’(x)\cdot\frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot\left(\frac{1}{v(x)}\right)’
Die Ableitung des Kehrwertes einer Funktion haben wir oben gefunden. Diese Regel wenden wir nun an:
w’(x)=u’(x)\cdot\frac{1}{v(x)}+u(x)\cdot\left(-\frac{v’(x)}{\left[v(x)\right]^2}\right)
Das kann man noch etwas übersichtlicher schreiben, indem wir den ersten Bruch mit v(x) erweitern:
w’(x)=\frac{u’(x)\cdot v(x)}{\left[v(x)\right]^2}-\frac{u(x)\cdot v’(x)}{\left[v(x)\right]^2}
=\frac{u’(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v’(x)}{\left[v(x)\right]^2}
Das ist die Quotientenregel. In Kurzform lautet sie:
\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}
Kettenregel
Oft hat man verkettete Funktionen, wie z.B.
f(x)=(2x+1)^3
Zuerst wird die Klammer berechnet (1-te Funktion) und das Ergebnis wird dann mit 3 potenziert (2-te Funktion). Du könntest jetzt natürlich die Funktion f(x) ausrechnen und alle Terme einzeln ableiten. Du könntest aber auch sagen, dass du 2 Funktionen hast, nämlich
v(x)=2x+1\quad\mbox{und}\quad u(v)=v^3
Die Funktionen sind also ineinander verschachtelt bzw. verkettet. Sie werden der Reihe nach ausgeführt, erst v, dann u. Die Frage ist, wie die Ableitung von solch verketteten Funktionen ist.
Zur Herleitung nehmen wir wieder 2 differenzierbare Funktionen u und v an. Nur diesmal sind sie ineinander verschachtelt:
f(x)=u(v(x))
Zuerst wird v(x) berechnet. Das Ergebnis wird dann in u eingesetzt, also u(v(x)). Die Ableitung geht wieder über den Differentialquotienten:
f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=
\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{(x+h)-x}
Den Nenner habe ich hier absichtlich nicht ausgerechnet (ich könnte ja einfach wieder nur h schreiben), damit die Herleitung klarer wird.
Den Differenzenquotienten kann ich nun wie folgt erweitern:
f’(x)=\lim_{h\to0}\left[\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{(x+h)-x}\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{v(x+h)-v(x)}\right]
Die beiden Nenner kann ich vertauschen (einfache Bruchrechnung):
f’(x)=\lim_{h\to0}\left[\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{v(x+h)-v(x)}\cdot\frac{v(x+h)-v(x)}{(x+h)-x}\right]
Wenn sowohl u als auch v differenzierbar sind, existieren die Grenzwerte beider Brüche und es gilt:
f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{u(v(x+h))-u(v(x))}{v(x+h)-v(x)}\cdot\lim_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{(x+h)-x}
Der erste Bruch liefert die Ableitung von u nach v, der zweite Bruch liefert die Ableitung von v nach x:
f’(x)=u’(v(x))\cdot v’(x)
Das ist die Kettenregel. Sie ist anfangs extrem schwer zu verstehen. In Worten lautet sie: „Äußere Ableitung mal innere Ableitung!“.
Unser Beispiel von oben war:
f(x)=(2x+1)^3
Die beiden Funktionen waren:
v(x)=2x+1\quad\mbox{und}\quad u(v)=v^3
Die Ableitungen davon sind:
v’(x)=2\quad\mbox{und}\quad u’(v)=3v^2
Nach der Kettenregel gilt dann für die Ableitung f’(x):
f’(x)=u’(v)\cdot v’(x)=3v^2\cdot 2
Das wird ausgerechnet, und am Ende wird v(x)=2x+1 wieder eingesetzt:
f’(x)=6v^2=6\left(2x+1\right)^2
Ableitung von Potenzen xn
Zuerst betrachten wir nur den Fall, dass n eine natürliche Zahl größer als 0 ist.
1. Fall n=1:
Gesucht ist also die Ableitung von f(x)=x. Der Differentialquotient liefert dazu:
f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=\lim_{h\to0}(1)=1
Die Ableitung von x ist also einfach 1:
\left(x\right)’=1
2. Fall n=2:
Gesucht ist die Ableitung von f(x)=x². Ab jetzt nehmen wir die Produktregel zu Hilfe:
\left(x^2\right)’=\left(x\cdot x\right)’=\left(x\right)’\cdot x+x\cdot\left(x\right)’=1\cdot x+x\cdot1=2x
3. Fall n=3:
Gesucht ist die Ableitung von f(x)=x³. Da wir die Ableitung von x und x² kennen, hilft auch hier wieder die Produktregel:
\left(x^3\right)’=\left(x\cdot x^2\right)’=\left(x\right)’\cdot x^2+x\cdot\left(x^2\right)’=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2
4. Fall n=4:
Gesucht ist die Ableitung von f(x)=x4. Da wir die Ableitung von x und x³ kennen, hilft auch hier wieder die Produktregel:
\left(x^4\right)’=\left(x\cdot x^3\right)’=\left(x\right)’\cdot x^3+x\cdot\left(x^3\right)’=1\cdot x^3+x\cdot 3x^2=4x^3
Allgemeiner Fall, n ist beliebige natürliche Zahl:
Das kann man nun ewig so weiter machen, aber du hast die Regelmäßigkeit bestimmt schon erkannt. Allgemein gilt:
\left(x^n\right)’=n\cdot x^{n-1}
Bei einer Potenz wird der Exponent einfach als Koeffizient nach vorne geholt und der Exponent wird um 1 vermindert.
Sonderfall n=0:
Für n=0 lautet die Fuktion f(x)=x0. Da jede Zahl hoch 0 gleich 1 ist (die Diskussion, was 00 genau ist, möchte ich hier nicht führen), handelt es sich hier auch um eine Konstante. Und deren Ableitung ist 0 (Funktionsgraph parallel zur x-Achse). Mit anderen „Worten“:
\left(x^0\right)’=0
Ableitung der Exponentialfunktion ex
Die e-Funktion, auch exp(x) geschrieben, kann als Summe von unendlich vielen Summanden geschrieben werden:
\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\frac{x^6}{720}\cdots
Der Nenner ist dabei die Fakultät des Exponenten (n!=1*2*3*4*…*n). Zum Beispiel steht bei dem x5-Term im Nenner das Produkt 1*2*3*4*5. Vor dem Ableiten schreiben wir das noch etwas um:
\exp(x)=1+x+\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{6}\cdot x^3+\frac{1}{24}\cdot x^4+\frac{1}{120}\cdot x^5+\frac{1}{720}\cdot x^6\cdots
Die Summenregel sagt uns, dass wir jeden Summanden einzeln ableiten dürfen. Der Sonderfall der Produktregel sagt uns, dass die Koeffizienten (in diesem Fall die Brüche) einfach erhalten bleiben. Und die Regel zur Ableitung von xn macht den Rest:
\left[\exp(x)\right]’=0+1+\frac{1}{2}\cdot 2x+\frac{1}{6}\cdot 3x^2+\frac{1}{24}\cdot 4x^3+\frac{1}{120}\cdot 5x^4+\frac{1}{720}\cdot 6x^5\cdots
Das kann man wieder vereinfachen:
\left[\exp(x)\right]’=1+x+\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{6}\cdot x^3+\frac{1}{24}\cdot x^4+\frac{1}{120}\cdot x^5\cdots
Wie du siehst, hat die Ableitung der e-Funktion genau die gleichen Summanden wie die e-Funktion. Und das bedeutet, dass die e-Funktion abgeleitet wieder die e-Funktion ergibt:
\left(e^x\right)’=e^x
Ableitung des Logarithmus-Funktion ln(x)
Die Logarithmus-Funktion ist sehr wichtig und ihre Ableitung wird sehr oft benötigt. Dummerweise ist diese nicht direkt offensichtlich. Daher hier kurz die Herleitung:
Wir betrachten die Funktion
f(x)=x\quad;\quad x>0
Die Einschränkung x>0 ist nötig, da die Logarithmus-Funktion für xf(x)=x=\exp\left(\ln x\right)
Das ist ein Fall für die Kettenregel mit:
v(x)=\ln x\quad;\quad u(v)=\exp(v)
Nach der Kettenregel gilt nun:
f’(x)=u’(v)\cdot v’(x)
Dummerweise kennen wir v’(x) nicht, denn die Ableitung der Logarithmus-Funktion wollen wir ja gerade hier bestimmen. Wir kennen jedoch die Ableitung u’(v), denn die Ableitung der exp-Funktion ist die exp-Funktion selbst:
u’(v)=\left(e^v\right)’=e^v=\exp(v)
Setzen wir v=ln(x) wieder ein, erhalten wir:
u’(v(x))=\exp(\ln x)=x
Damit gilt für f’(x):
f’(x)=x\cdot v’(x)
Glücklicherweise ist f(x)=x und die Ableitung daher f’(x)=1:
1=x\cdot v’(x)
Nun kann ich auf beiden Seiten der Gleichung durch x teilen und erhalte v’(x):
v’(x)=\frac{1}{x}
Da v(x)=ln(x) ist, haben wir die Ableitung der Logarithmus-Funktion gefunden:
\left(\ln x\right)’=\frac{1}{x}
Nochmal Ableitung von Potenzen: xr
Die Ableitung von Potenzen mit ganzzahligem positiven Exponten hatten wir bereits oben gefunden:
\left(x^n\right)’=n\cdot x^{n-1}
Die Frage ist, ob diese Regel auch allgemein bei beliebigen reellen Exponenten r gilt?
Sei also r eine beliebige reelle Zahl und sei
f(x)=x^r\quad;\quad x>0
Zur Bestimmung der Ableitung nutzen wir folgende allgemeingültige Formel aus:
x^r=e^{r\ln x}
Wir suchen also die Ableitung von:
f(x)=e^{r\ln x}
Wir bemühen mal wieder die Kettenregel:
u(v)=e^v\quad;\quad v(x)=r\ln x
Die Ableitungen kennen wir bereits:
u’(v)=e^v=e^{r\ln x}\quad;\quad v’(x)=r\cdot\frac{1}{x}
Zur Erinnerung, die Konstante r bleibt bei der Ableitung einfach als Faktor erhalten.
Insgesamt gilt nun:
f’(x)=u’(v)\cdot v’(x)=e^{r\ln x}\cdot\frac{r}{x}
Das kann man noch vereinfachen:
f’(x)=\underbrace{e^{r\ln x}}_{=x^r}\cdot\frac{r}{x}=x^r\cdot\frac{r}{x}=r\cdot x^{r-1}
Und damit gilt:
\left(x^r\right)’=r\cdot x^{r-1}
Wie schon bei natürlichen Exponenten n, gilt die gleiche Regel für reelle Exponenten: Der Exponent wandert als Faktor nach vorne und der Exponent wird um 1 vermindert.
Und zwar:
die Formel ist ja:
[Formel: y= e^z]
Woher weiss man jetzt das die Ableitung von y nach z jetzt [
Formel: e^z] ist?
Ich hoffe, das ist nun klarer geworden?!
genau das gleiche bei
[Formel: \frac{dz}{dx}= \ln1,4]
woher weiss man das die Ableitung von z nach x = ln1,4 ist?
Ergibt für mich bis jetzt keinen Sinn^^
Jetzt müsste es Sinn machen.
Würde mich über ne Erklärung freuen
Hat ein wenig gedauert, dafür ist die Erklärung auch etwas länger.
Viele Grüße
Hase
dazu kennen… 