Ableitungen

Anonym · 18. Mai 2000 um 15:58

Hallo zusammen !

Kann mir einer mal den Unterschied zwischen der Totalen- und der Partiellenableitung erklaeren ?
Vielleicht mit einer kleinen Beispielfunktion !

Danke sagt

Martin

Anonym · 18. Mai 2000 um 16:04

hallo.

soweit ich mich erinnere, is ne partielle ableitung eine ableitung einer funktion mehrerer variablen nach einer variablen. z.b. die partielle ableitung von x^2+3xy+x nach x is 2x+3y+1.

gruß

michael

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Lutz_Lehmann · 18. Mai 2000 um 17:07

Partiell: Ableitung in einer Richtung, meist im Zusammenhang mit Koordinatenrichtungen

Total: Matrix (Jacobi-Matrix) aller elementaren partiellen Ableitungen, ist die lineare Abbildung, die die Tangentialebene beschreibt.

Ciao Lutz

Anonym · 18. Mai 2000 um 19:16

Hi Martin

Also, nehmen wir z.B. die folgende Funktion:

f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3

Diese Funktion f kannst du partiell nach x,y oder z ableiten. Bei einer partiellen Ableitung betrachtest du alle Variablen, nach denen nicht abgeleitet wird, einfach als Konstanten, also:

df/dx = yz // y und z konstant!
df/dy = xz + 2y // x und z konstant!
df/dz = xy + 3z^2 // x und y konstant!

Die partielle Ableitung gibt also an, wie sich eine Funktion ändert, wenn du nur eine bestimmte Variable änderst und alle anderen fest hälst!

So, kommen wir nun zur totalen Ableitung, die ich mal mit einem großen D schreibe. Stell dir vor, unsere 3 Variablen x,y und z hängen von der Zeit t ab. Dann können wir mit Hilfe der totalen Ableitung angeben, wie sich die obige Funktion f(x,y,z) mit der Zeit t ändert. Es gilt:

Df/Dt = (df/dx)*(Dx/Dt) + (df/dy)*(Dy/Dt) + (df/dz)*(Dz/Dt)

oder für f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3:

Df/Dt = yz*(Dx/Dt) + (xz+2y)*(Dy/Dt) + (xy+3z^2) * (Dz/Dt)

Da x=x(t), y=y(t), z=z(t) nur von t abhängen, ist ihre partielle Ableitung gleich ihrer totalen Ableitung!

So, das war jetzt mal eine „physikalische“ Erklärung. Ich hoffe, sie hat dir geholfen.

cu Stefan.

Anonym · 24. Mai 2000 um 12:04

Hallo Stefan !
Vielen dank fuer Deine Antwort (den anderen natuerlich auch !). Aber irgendwie ist mir da noch etwas unklar dran !
Vorallem, da Du die beiden Ableitung nicht wirklich vergleichst !

Also, nehmen wir z.B. die folgende
Funktion:

f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3

Diese Funktion f kannst du partiell nach
x,y oder z ableiten. Bei einer partiellen
Ableitung betrachtest du alle Variablen,
nach denen nicht abgeleitet wird, einfach
als Konstanten, also:

df/dx = yz // y und z konstant!
df/dy = xz + 2y // x und z konstant!
df/dz = xy + 3z^2 // x und y konstant!

Die partielle Ableitung gibt also an, wie
sich eine Funktion ändert, wenn du nur
eine bestimmte Variable änderst und alle
anderen fest hälst!

Wie wuerde denn diese Funktion aussehen, wenn ich sie total nach x, y oder z ableite ?
Da betrachte ich doch auch die anderen Variablen als konstant ! Also wo ist hier der Unterschied ?

So, kommen wir nun zur totalen Ableitung,
die ich mal mit einem großen D schreibe.
Stell dir vor, unsere 3 Variablen x,y und
z hängen von der Zeit t ab. Dann können
wir mit Hilfe der totalen Ableitung
angeben, wie sich die obige Funktion
f(x,y,z) mit der Zeit t ändert. Es gilt:

Df/Dt = (df/dx)*(Dx/Dt) + (df/dy)*(Dy/Dt)

(df/dz)*(Dz/Dt)

oder für f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3:

Df/Dt = yz*(Dx/Dt) + (xz+2y)*(Dy/Dt) +
(xy+3z^2) * (Dz/Dt)

wie sieht es den hier mit der partiellen Ableitung aus ?

Was ist z.B. df/dt ???

Da x=x(t), y=y(t), z=z(t) nur von t
abhängen, ist ihre partielle Ableitung
gleich ihrer totalen Ableitung!

So, das war jetzt mal eine
„physikalische“ Erklärung. Ich hoffe, sie
hat dir geholfen.

cu Stefan.

Danke
Martin

DrStupid · 24. Mai 2000 um 13:49

Es gilt:

Df/Dt = (df/dx)*(Dx/Dt) + (df/dy)*(Dy/Dt)

(df/dz)*(Dz/Dt)

oder für f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3:

Df/Dt = yz*(Dx/Dt) + (xz+2y)*(Dy/Dt) +
(xy+3z^2) * (Dz/Dt)

wie sieht es den hier mit der partiellen
Ableitung aus ?

Was ist z.B. df/dt ???

Df/Dt und df/dt sind identisch. Dazu folgendes Beispiel:
Die Parameter der Funktion
f(x,y,z)=xyz+y²+z³
sind Funktionen von t:
x=at²+b
y=ct
z=d

Wenn wir diese Funktionen in die Funktion einsetzen
f(t)=(at²+b)ctd+c²t²+d³
können wir die Ableitung nach t direkt berechnen:
df/dt=3act²+2c²t+bcd

Setzen wir dagenen die totalen Ableitungen der Parameter nach t
Dx/Dt=2at
Dy/Dt=c
Dz/Dt=0
in die totale Ableitung von f nach t
Df/Dt=yz*(Dx/Dt)+(xz+2y)*(Dy/Dt)+(xy+3z²)*(Dz/Dt)
ein, erhalten wir zunächst
Df/Dt=2atyz+c(xz+2y)
und nach Substitution der parameter
Df/Dt=3act²+2c²t+bcd=df/dt

Wenn die Funktion nämlich nur eine Variable hat, dann ist die einfache Ableitung identisch mit der totalen.

Sinnvoll wird es erst, wenn man nicht mit totalen Ableitungen, sondern mit totalen Differentialen arbeitet:
df=f_xdx+f_ydy+f_zdz
In der Physik sind totale Differentiale sehr beliebt, weil man sie auch hinschreiben kann, wenn man f nicht kennt. Auf diese Weise kann man f in Fragmente zerlegen, die jeweils nur von einer Variable abhängen, was das Basteln von Naturgesetzen besonders einfach macht.

Dazu ein hübsches Beispiel ais der Thermodynamik:

Die Enthalpie ist definiert als H=U+pV
das totale Differential lautet dH=dU+pdV+Vdp
Die Änderung der Inneren Energie ist nach dem ersten Hauptsatz dU=dq+dw
und die Arbeit ist definiert als dw=-pdV
Die Enthalpieänderung ist also dH=dq-Vdp.

Ohne auch nur die geringste Ahnung vom tatsächlichen Verlauf von H zu haben kann ich mit Hilfe totaler Differentiale also feststellen, daß die Änderung der Enthalpie bei konstantem Druck gleich der ausgetauschten Wärme ist.

Lutz_Lehmann · 24. Mai 2000 um 15:53

Wie wuerde denn diese Funktion aussehen,:wenn ich sie total nach x, y oder z:ableite ?
Da betrachte ich doch auch die anderen:Variablen als konstant ! Also wo ist hier:der Unterschied ?

Du kannst eine Funktion nicht total nach einer Variablen ableiten (es sei denn, sie hat nur eine Variable)

Df/Dt = (df/dx)*(Dx/Dt) + (df/dy)*(Dy/Dt)

(df/dz)*(Dz/Dt)

Das ist das Matrixprodukt von zwei totalen Ableitungen, einmal eine Funktion IR^3 nach IR und davorgeschaltet eine Kurve IR nach IR^3

wie sieht es den hier mit der partiellen
Ableitung aus ?

Was ist z.B. df/dt ???

Kettenregel für mehrdimensionale Differentiale.

Das ganye wird noch verwirrender, zumindest am Anfang, wenn man dann von totalen Differentialen zu Differentialformen übergeht. Ist aber sinnvoll, da z.B. die Maxwellgleichungen eine sehr einfache Struktur erhalten.

Ciao Lutz

Anonym · 25. Mai 2000 um 10:45

Hi Martin

Wie wuerde denn diese Funktion aussehen,
wenn ich sie total nach x, y oder z
ableite ?

Das geht nicht! Wenn eine Funktion mehrere Variablen enthält, dann kannst du nur partiell nach diesen ableiten. Dabei untersuchst du, wie sich die Funktion ändert, wenn du an genau einer der Variablen „rumwackelst“.

In der Physik ist es aber oft so, dass sich alle Variablen einer Funktion mit der Zeit t ändern. Mit anderen Worten: x,y und z sind Funktionen der Zeit, also x(t), y(t) und z(t). Nehmen wir z.B. nochmal unsere Funktion:

f(x,y,z)= xyz + y^2 + z^3

mit den folgenden zeitabhängigen Variablen:

x= x(t)= t
y= y(t)= 1+t
z= z(t)= t^2

Jetzt kannst du unsere Funktion f neu schreiben:

f(t)= t(1+t)t^2 + (1+t)^2 + (t^2)^3

oder vereinfacht:

f(t)= 1 + 2t + t^2 + t^3 + t^4 + t^6

Und diese Funktion f(t) kannst du nun (total) nach der Zeit t ableiten!

Im Prinzip kann man also Funktionen mit mehreren Variablen nur partiell und solche mit einer Variablen nur total ableiten. Besonders in der Physik spricht man aber gerne von der totalen Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen, wenn alle diese Variablen als Funktionen einer Veränderlichen geschrieben werden können. Dann kann man nämlich die oben gezeigte Rückführung auf diese eine Variable durchführen!

Um sich nicht die Finger blutig zu schreiben, benutzt man anstatt der kompletten Rückführung auf diese eine Variable gerne die Kettenregel:

Df(x,y,z)/Dt= df/dx*dx/dt + df/dy*dy/dt + df/dz*dz/dt

Da x,y und z nur von t abhängen, sind die partiellen Ableitungen dx/dt, dy/dt und dz/dt gleich den totalen Ableitungen Dx/Dt, Dy/Dt, Dz/Dt.

Du solltest unbedingt zwischen df/dt (partiell) und Df/Dt (total) unterscheiden. Es kann nämlich vorkommen, dass du z.B. eine Funktion hast, die von x, y und t abhängt: f(x,y,t). Jetzt kannst du entweder die Funktionen x(t) und y(t) in f einsetzen und bekommst dann f(t) zum Ableiten, oder du benutzt die Kettenregel:

Df(x,y,t)/Dt = df/dx*dx/dt + df/dy*dy/dt + df/dt

Der letzte Summand auf der rechten Seite ist die partielle Ableitung von f(x,y,t) nach t, links vom Gleichheitszeichen steht die totale Ableitung von f(x,y,t) nach t.

Du siehst, man kann da leicht durcheinander kommen. Ich habe mir bei der Kettenregel angewöhnt, immer nur partielle Ableitungen zu schreiben (wie man oben sieht). Dann kannst du eigentlich nichts falsch machen, weil die partielle Ableitung einer Funktion mit nur einer Variablen ja mit der totalen Ableitung identisch ist …

cu Stefan.