Ableitungsfunktion

Wissenschaft Mathematik
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hallo

kann mir bitte jemand erklären, wie ich von einer beliebigen funktion die ableitungsfunktion ermitteln kann?

beispielsweise von der funktion f(X) = 2*x^2 - 4*x + 1,5

ich darf leider nicht den einfachen weg über ableitungs reglen gehen, sondern muss mit dem grenzwert

lim
h->0

arbeiten :frowning:

schonmal danke für die hilfe
mfg TE

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Hallo,
schön, daß du uns mitteilst, wo du bei deinen Hausaufgaben genau ein Problem hast oder, was du schon versucht hast.

f’(x) = lim_{h\rightarrow 0} ( f(x+h)-f(x) )

einsetzen, sich an die binomischen Formeln erinnern, ausrechnen und fertig.

Cu Rene

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aus
2*(x0+h)^2 - 4*(x0+h) - 2*x0^2 - 4*x0

werden

2*x0^2 + 4*x0*h + h^2 - 4*x0 + 4*h - 2*x0^2 - 4*x0

so.

und das kann ich nicht einfach durch h teilen weil ja nicht alle teile des terms h enthalten :s

P.S. ich kenne ja die allgemeinen ableitungsregen und habe geogebra auf dem PC. wenn es hier nur um das lösen einer einzigen aufgabe ginge würde ich mit wohl kaum die mühe machen, das als frage in ein forum zu posten… es geht mir um das verständnis.

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ich hab’s jetzt mit x->x0 versucht.

jetz bleib ich bei der polynom division hängen:

(2x^2 - 2x0^2 - 4x + 4x0) : (x - x0) = 2x…
-(2x^2 - 2x0*x)

was ist denn bitte - 2x0^2 + 2x0*x?!?

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Hallo :smile:

Also irgendwie stimmt das von den Vorzeichen her gar nicht!
Wenn die Vorzeichen richtig wären, dann würde sich alles, was kein h enthällt zu 0 zusammen addieren und somit aus der Gleichung entfallen.

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jo dankeschön für den tipp

ich hab’s mir nochmal von einem kumpel durchlesen lassen…

der hat mir die richtige lösung gezeigt. ich konnte es nachvollziehen.

das thema hat sich erledigt :smile:

ich wüsst trotsdem gern was bei der in der antwort auf meinen post gezeigt addition rauskommt :confused:

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Das müsste 2h^2 + 4xh - 4h sein!

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neeee
ich meinte

  • 2x0^2 + 2x0*x

da is doch kein h drin :wink:

auf das bin ich mit der formel für

lim
x->x0

gekommen

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Hallo

Zur Kontrolle:

beispielsweise von der funktion f(X) = 2*x^2 - 4*x + 1,5

2*(x+h)^2 -4(x+h) +1,5 - (2x^2 -4x +1,5)

2x^2 +4xh +2h^2 -4x -4h +1,5 -2x^2 +4x -1,5 /zusammenfassen
 4xh +2h^2 -4h /:h
4x +2h -4 /h-\>0
4x -4

mfg M.L.

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Hallo,

ich hab’s jetzt mit x->x0 versucht.

auch das funktioniert, allerdings ist die Limes-Formel mit h hier leichter auszuwerten.

Zur Polynomdivision: Ich schreib der Übersichtlichkeit wegen a statt x0; dann ist es besser zu lesen.

Frage:

(2x2 – 4x – 2a2 + 4a) : (x – a) = ?

(Beachte, dass die Glieder nach x-Potenzen absteigend geordnet vorliegen müssen.)

Antwort:

Der erste Ergebnis-Summand ist 2x:

(2x2 – 4x – 2a2 + 4a) : (x – a) = 2x
–(2x2 – 2ax)
–––––––––––––
2ax – 4x – 2a2 + 4a

In der letzten Zeile ist das x ausklammerbar; dadurch wird sie zu

(2a – 4)x – 2a2 + 4a

Nun der nächste Divisionsschritt; er führt auf 2a – 4 als zweiten Ergebnis-Summand:

(2x2 – 4x – 2a2 + 4a) : (x – a) = 2x + 2a – 4
–(2x2 – 2ax)
–––––––––––––
(2a – 4)x – 2a2 + 4a
–((2a – 4)x – (2a – 4)a)
–––––––––––––
0

Da die Subtraktion Null ergibt, ist die Division „aufgegangen“ und es gibt nichts mehr zu tun. Ergebnis:

(…) : (…) = 2x + 2a – 4

Der Ableitungsgrenzwert

f’(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

zu Deiner Funktion f(x) = 2x2 – 4x wird damit zu

\lim_{x \rightarrow x_0} (2x + 2x_0 - 4)

und nach dem jetzt problemlosen Vollzug des Grenzübergangs kommt das richtige Ergebnis heraus:

4x_0 - 4\quad\Rightarrow\quad f(x) = 4x - 4

Gruß
Martin

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