Hallo zusammen
Folgende Funktion muss ich ableiten:
f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}
Wobei ich nach folgender Reihenfolge vorgehen würde:
Würdet ihr sagen, dieser Weg ist richtig oder gäbe es einen einfacheren?
Danke für Vorschläge.
Grüsse
Bruno
Hallo Bruno,
- Wurzel umschreiben mit Potenzen
- Ableiten nach Potenzregel
- Ableiten nach Quotientenregel
- Vereinfachen
Das klingt schon vernünftig, aber ich bin mir nicht sicher ob Du mit 3. die innere Ableitung meinst und dann auch daran denkst, dass das Ergebnis:
äußere mal innere Ableitung ist.
Gruß Volker
Hallo Bruno,
Folgende Funktion muss ich ableiten:
f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}
Ich hätte wahrscheinlich erstmal den Quotienten in ein Produkt umgeschrieben:
f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}= \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}= x\cdot (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}
und dann die Produktregel angewendet.
Viele Grüße
Kati
Hallo Kati,
Ich hätte wahrscheinlich erstmal den Quotienten in ein Produkt
umgeschrieben:
f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}=
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}= x\cdot
(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}
und dann die Produktregel angewendet.
so dürfte man tatsächlich am billigsten ans Ziel kommen; man muss jedoch aufpassen:
f(x)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}
und
g(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
sind „nicht ganz“ dieselbe Funktion. Für positive x ist f ≡ g, aber für negative x ist f ≡ –g. Das heißt f verläuft im 1. und 2. Quadranten und hat einen Knick im Ursprung; g verläuft dagegen im 1. und 3. Quadranten und glatt durch den Ursprung. Der Grund ist natürlich √(x2) = | x |. Deshalb muss man am Schluss prüfen, inwieweit man die Ableitungsfunktion noch modifizieren muss, damit sie auch wirklich zu f passt statt zu g.
Gruß
Martin
Hallo Martin,
danke für die Ergänzung, daran habe ich nicht gedacht.
Viele Grüße
Kati
Hallo Volker
Bei der Ableitung komme ich nicht auf das gewünschte Resultat.
Die Funktion lautet
\sqrt\frac{x^2}{x^2+1}
Dann mein Lösungsweg:
(\frac{x^2}{x^2+1})^\frac{1}{2}
Da habe ich erhalten:
\frac{1}{2}(\frac{2x}{2x})
nach der Formel:
\frac{u’(x)v(x)-v’(x)u(x)}{(v(x))^2}
u(x) = \frac{1}{2}2x
u’(x) = x
v(x) = \frac{1}{2}2x
v’(x) = x
eingesetzt in die Formel:
\frac{x\frac{1}{2}2x-x\frac{1}{2}2x}{(\frac{1}{2}2x)^2}
Hierdurch wird aber mein Zähler 0 was ja nicht erlaubt ist und gemäss Lösungsbuch auch falsch ist.
Kannst Du mir sagen wo ich den Fehler mache?
Danke
Bruno
Moin,
\sqrt\frac{x^2}{x^2+1}
Dann mein Lösungsweg:
- Wurzel als Potenz umschreiben
(\frac{x^2}{x^2+1})^\frac{1}{2}
Also wenn ich das richtig interpretiere, hast Du die „äußere Ableitung“, die Produktregel noch nicht verstanden.
Ich schreibe auch immer alles in Potenzweise um, das ist ok.
Dann hast Du den Exponenten „runtergezogen“ und dann jeweils den Zähler und den Nenner abgeleitet, das ist aber nicht die Produktregel.
Diese wendest Du an auf eine Fkt. f=u*v, dann ergibt sich die Ableitung:
f´ = u*v´ + u´*v,
sollte in Deiner Formelsammlung stehen.
Vlt. hilft Dir das erstmal weiter, ich muss mich ausklincken.
Gruß Volker
Hey Bruno,
- Ableiten nach Potenzregel
Da habe ich erhalten:
\frac{1}{2}(\frac{2x}{2x})
Hier steckt schon mal ein Fehler. Denn nach deiner Ableitung würde gelten:
\frac{1}{2}(\frac{2x}{2x}) = \frac{1}{2}\cdot1 = \frac{1}{2}
Würdest also eine konstante Ableitung bekommen.
Bei der Produktregel musst du allerdings erst die äüßere Ableitung machen ohne dich um das zu kümmern, was in der inneren Funktion steht. Die innere Ableitung musst du dann einfach dranmultiplizieren.
Aber ich denke, bei dir steckt schon ein Fehler in der Überlegung.
Umschreiben in Potenz - klar, kann man machen
Äußere Ableitung ausgerechnet - das ist nur:
((\frac{x^2}{x^2+1})^{\frac{1}{2}})’ = \frac{1}{2} \cdot (\frac{x^2}{x^2+1})^{-\frac{1}{2}} \cdot InnereAbleitung
Jetzt musst du die innere Ableitung dranmultiplizieren. Innere Ableitung ist:
(\frac{x^2}{x^2+1})’
Um das abzuleiten brauchst du dann die Quotientenregel, welche dann ergibt:
(\frac{x^2}{x^2+1})’ =
\frac{2x \cdot (x^2+1) - 2x \cdot (x^2)}{(x^2+1)^2} =
\frac{2x}{(x^2+1)^2}
Ich hoffe, ich hab mich nicht allzu oft verrechnet 
Gruß René
Hallo Bruno,
Bei der Ableitung komme ich nicht auf das gewünschte Resultat.
das ist kein Wunder, weil Du die Ableitungsregeln nicht richtig anwendest.
Ich würde es so machen. Deine Funktion hat die Form
\sqrt\frac{Z}{N}
mit der Zählerfunktion Z = x2 und der Nennerfunktion N = x2 + 1.
Die Ableitung davon ist:
\Big(\sqrt\frac{Z}{N}\Big)’
= \frac{1}{2\sqrt\frac{Z}{N}} \cdot \Big(\frac{Z}{N}\Big)’
= \frac{1}{2} \sqrt\frac{N}{Z} \cdot \frac{Z’ N - Z N’}{N^2}
Dabei wurde beim Übergang vom ersten zum zweiten „=“ die Kettenregel und beim Übergang vom zweiten zum dritten „=“ die Quotientenregel angewendet. Schau Dir in Deinem Analysisbuch genau an, wie diese Regeln „funktionieren“ – Du musst sie sicher beherrschen, wenn Du Ableiten können willst.
Da Z’ und N’ jeweils gleich 2 x sind, folgt
… = x: \sqrt\frac{N}{Z} \cdot \frac{N - Z}{N^2}
Jetzt musst Du nur noch Z und N ausschreiben (x2 bzw. x2 + 1) und den Term soweit wie möglich vereinfachen (N – Z = 1 usw.).
Gruß
Martin
Hallo zusammen und danke für Eure Hilfe. Eigentlich bin ich ziemlich weit gekommen dank Euch. Nun klemmt es bei mir aber noch immer.
In meinem Lösungsbuch steht:
\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^\frac{1}{2}
\frac{x}{(x^2+1)^2}
=\frac{1}{|x|}
\frac{x}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}
Wie kommt es, dass:
\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^\frac{1}{2}
\frac{x}{(x^2+1)^2}
gleich:
\frac{1}{|x|}
\frac{x}{(x^2+1)^\frac{3}{2}}
sei?
Ich versuchte es und habe Werte von 1 bis 6 für x in beide Terme eingesetzt und bekomme unterschiedliche Resultate.Kann mir jemand erklären wie ich das umrechne, damit ich vom 1. Term auf den 2. Term komme?
Danke und Grüsse
Bruno
Hey Bruno,
also eig dürftest du dort keine unterschiedlichen Werte herausbekommen - denn die beiden Terme sind gleich.
Ich versuch es mal zu verdeutlichen:
(\frac{x^2+1}{x^2})^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^2} =
\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{(x^2)^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^2} =
\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^2} \cdot \frac{x}{|x|} =
\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}{((x^2+1)^{\frac{1}{2}})^4} \cdot \frac{x}{|x|}
=\frac{1}{((x^2+1)^{\frac{1}{2}})^3} \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{|x|}
Gruß René
Hallo René
Danke Dir. Hast recht, die Werte stimmten überein und dank deiner Hilfe ist mir auch die Umformung jetzt einleuchtend.
Merci und Gruss
Bruno