Ablenkung von sehr schnellen Elektronen im Magnetf

Hallo!
Ich hab mal ne Frage: Wenn Beta (minus) -Strahlen durch ein Magnetfeld gelangen, werden sie ja wegen ihrer Ladung abgelenkt.

Ich weiß jetzt, dass die einzelnen Elektronen dabei jeweils eine Energie von 2,274 MeV haben.
Jetzt wollte ich mit dieser kinetischen Energie die Geschwindigkeit der Elektronen ausrechnen.

E kin = 0.5 * mo *v^2

als Formel ging da nicht, weil da etwas über der Lichtgeschwindigkeit rauskommen würde.

Dann hab ich in einer Formelsammlung nachgesehen und gelesen, dass die Masse mit der Geschwindigkeit immer größer wird.

Also hab ich die Formel E kin = (mo*c^2) / (1-v^2/c^2)^0.5 -mo*c^2 genommen.

Dann hatte ich eine Geschwindigkeit von 294.895.263 m/s raus. Damit wollte ich jetzt die Ablenkung im Magnetfeld berechnen, mit so Formeln wie:

F = m*a und F = B * e * v

(für m hab ich hierbei „m = mo/(1-v^2/c^2)^0.5“ verwendet)

Da das Ergebnis aber überhaupt nicht mit den Messungen übereinstimmt, hab ich die Frage, ob man diese Kräfte-Gleichungen auch bei so hohen Geschwindigkeiten verwenden darf, oder ob es dafür auch so spezielle Formeln wie die oben genannten gibt?

Vielen Dank für eine Antwort

Hallo Manfred,
dein Ansatz ist im Prinzip so falsch nicht, aber:

  1. Bei relativistischen Energien wird die Geschw. irgendwann (fast) c und ändert sich nicht mehr (viel), auch wenn Energie und Impuls größer werden. Dann musst du, auch wenn alle Formeln im Prinzip richtig sind, mit immer mehr Stellen für die Geschw. rechnen. Großzügiges Runden kann zu großen Fehlern führen.
  2. F=m*a gilt nur für m=const. , verwende lieber F= dp/dt, dann brauchst du auch den (unglücklichen) Begriff der relativistischen Masse überhaupt nicht.

Mit dem Impuls statt der Geschw. geht’s einfacher:
Für den Krümmungsradius der Bahn gilt ( v bzw. p senkrecht auf B vorausgesetzt!):
R=m*v/(Q*B) , mit Impuls p=m*v ergibt sich daraus: R=p/(Q*B)

Den Impuls berechnest du aus der Energie. Es gilt
E_ges² = (p*c)² +(m*c²)²
Dabei ist für Elektronen m*c² = 0,511 MeV
Die Gesamtenergie erhälst du aus der kin. Energie mit E_ges = E_kin + m*c²

Für E_kin = 2,274 MeV erhalte ich E_ges = 2,785 MeV, p = 2,738 MeV/c
Jetzt müsste man dein B-Feld kennen - ich nehm’ mal B=0,1 T und erhalte damit R = 0,0913 m.

Was hast du denn als Messwert zu bieten?

Gruß Kurt

Hallo, vielen Dank für deine Antwort.

Eine kleine Frage zu deiner Rechnung hätte ich vorher noch:

R = p/(Q*B)

also eingesetzt bedeutet das doch: 2,738/(e*0,1) oder nicht?
(Vielleicht noch das MeV/c in die Grundeinheit umrechnen)

Was mache ich falsch, aber auf 0,0913 m komme ich nicht?

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Tut mir leid, dass ich mich in meinem vorherigen Text so undeutlich ausgedrückt habe.

 Magnet /-----\>----\>| |/ 
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Der Aufbau sah so ungefähr aus, dass der Strahler etwa auf
einen 3 cm breiten Magnet (der eigentlich aus zweien Bestand und in der Mitte einen Durchlass hatte) geschossen hat und dann die Elektronen abgelenkt worden sind.
Sie wurden also nicht auf eine komplette Kreisbahn gezwungen (bin mir nicht ganz sicher, ob du mit „R“ nicht davon ausgegagen bist.

Ich hatte vorher mit F= m*a und der anderen Formel die Beschleunigung die die Elektronen im Magnetfeld „nach oben“ erfuhren ausgerechnet, dann mithilfe der Geschwindigkeit ausgerechnet, wie lange sich die Elektronen zwischen den 3cm breiten Magneten befinden und dann mit

s = 0.5 *a*t^2 ausgerechnet umwieviel sich die Elektronen nach oben bewegen.

mit tan (a (alpha)) = s (Bewegung nach oben)/(breite Magnet) wollte ich dann den Winkel bestimmen in dem die Elektronen abgelenkt worden sind.

Bei der Messung war der größte Ausschlag bei ca. 50°, aber die Rechnung passte damit nicht so überein.


zum Magnetfeld ich hatte eine Hallsonde, die aber nur dummerweise den Teil des Magnetfelds misst, der zu ihr parallel liegt.
Dafür hätte ich aber durch die Magneten „durchstechen müssen“, also hab ich 96mT unter einem Winkel von 54° gemessen und hätte dann
mit B = Bo/cos(54°) die komplette Stärke ausgerechnet, bin aber nicht ganz sicher, ob das so richtig ist. (Kam raus 163.3 mT)

Vielleicht beeinhaltet das alles deine Lösung schon, hab aber leider den letzten Teil nicht ganz nachvollziehen können, vielen Dank für eine Antwort
Manny

Hallo Manfred!

Hallo, vielen Dank für deine Antwort.

Eine kleine Frage zu deiner Rechnung hätte ich vorher noch:

R = p/(Q*B)

also eingesetzt bedeutet das doch: 2,738/(e*0,1) oder nicht?
(Vielleicht noch das MeV/c in die Grundeinheit umrechnen)

Was mache ich falsch, aber auf 0,0913 m komme ich nicht?

Physiker rechnen grundsätzlich mit Einheiten, so was wie „2,738/(e*0,1)“ gibt es nicht.
Also: 1 MeV = e * 10^6 V , 0,1 T = 0,1 Vs/m²
c ist die Lichtgeschw., c=3*10^8 m/s
Mit Q=e kürzt sich das e erst mal weg und es ergibt sich
R= 2,738 *10^6 V/(3*10^8 m/s * 0,1 Vs/m²) = …

_________________________________________

Tut mir leid, dass ich mich in meinem vorherigen Text so
undeutlich ausgedrückt habe.

Magnet /----->---->| |/

Der Aufbau sah so ungefähr aus, dass der Strahler etwa auf
einen 3 cm breiten Magnet (der eigentlich aus zweien Bestand
und in der Mitte einen Durchlass hatte) geschossen hat und
dann die Elektronen abgelenkt worden sind.
Sie wurden also nicht auf eine komplette Kreisbahn gezwungen
(bin mir nicht ganz sicher, ob du mit „R“ nicht davon
ausgegagen bist.

R ist wie gesagt der Krümmungsradius. Er ergibt sich in jedem Punkt aus dem B-Feld und der senkrecht dazu stehenden Impulskomponente. Im Fall eines homogenen Magnetfeldes und senkrechtem Einschuss ergibt das eine Kreisbahn mir Radius R, sonst helfen nur Näherungsrechnungen, numerische Integration etc.

Ich hatte vorher mit F= m*a und der anderen Formel die
Beschleunigung die die Elektronen im Magnetfeld „nach oben“
erfuhren ausgerechnet, dann mithilfe der Geschwindigkeit
ausgerechnet, wie lange sich die Elektronen zwischen den 3cm
breiten Magneten befinden und dann mit

s = 0.5 *a*t^2 ausgerechnet umwieviel sich die Elektronen nach
oben bewegen.

mit tan (a (alpha)) = s (Bewegung nach oben)/(breite Magnet)
wollte ich dann den Winkel bestimmen in dem die Elektronen
abgelenkt worden sind.

Da gibt es einen prinzipiellen Unterschied zwischen Ablenkung im E-Feld und im B-Feld, den man schon im Fall des homogenen Feldes sieht: Im E-Feld ist die Kraft (insbes. die Richtung) konstant, im B-Feld steht die Kraft immer senkrecht auf v (Normalkraft). Das führt dann im einen Fall zu einer Parabel, im anderen Fall zu einer Kreisbahn - und da kommt typischerweise auch bei kleinen Ablenkungen ein Faktor 2 Unterschied heraus.

Bei der Messung war der größte Ausschlag bei ca. 50°, aber die
Rechnung passte damit nicht so überein.

Aha - wir kommen der Sache näher: "größte Ausschlag " !!! Frage: wo bekommst du deine Elektronen her ? Einen kleinen Heim-Beschleuniger hast du (oder eure Schule ?) sicher nicht, also ist’s wahrscheinlich eine Sr-90 / Y-90 Quelle. Die Beta- von Y-90 haben gerade eine Maximalenergie von 2.274 MeV. Aber das ist eben nur der Endpunkt des Spektrums, das bei Null (!) anfängt. Auch der Endpunkt wird bei dir effektiv niedriger liegen, da deine Betas erst mal aus der Quele raus müssen und dann auch noch durch ein paar cm Luft fliegen - oder hast du ein Spektrometer mit Hochvakuum ? Und der Mittelwert oder auch der häufigste Wert liegt _v_i_e_l_ niedriger.


zum Magnetfeld ich hatte eine Hallsonde, die aber nur
dummerweise den Teil des Magnetfelds misst, der zu ihr
parallel liegt.

Das ist halt so, dass Hallsonden immer nur eine Komponente des B-Vektors messen. Man kann sie aber drehen wie man möchte …

Dafür hätte ich aber durch die Magneten „durchstechen müssen“,
also hab ich 96mT unter einem Winkel von 54° gemessen und
hätte dann
mit B = Bo/cos(54°) die komplette Stärke ausgerechnet, bin
aber nicht ganz sicher, ob das so richtig ist. (Kam raus 163.3
mT)

Vielleicht beeinhaltet das alles deine Lösung schon, hab aber
leider den letzten Teil nicht ganz nachvollziehen können,
vielen Dank für eine Antwort

Ja, so einfach ist das leider nicht … Im „Waschküchenlabor“ ist ein magnetisches Beta-Spektrometer kaum realisierbar.

Manny

Du könntest ja mal verraten was (und wozu) du da eigentlich treibst …

Gruß Kurt

Hallo Kurt!
Vielen Dank für die Antwort.

Aha - wir kommen der Sache näher: "größte Ausschlag " !!!
Frage: wo bekommst du deine Elektronen her ? Einen kleinen
Heim-Beschleuniger hast du (oder eure Schule ?) sicher nicht,
also ist’s wahrscheinlich eine Sr-90 / Y-90 Quelle. Die Beta-
von Y-90 haben gerade eine Maximalenergie von 2.274
MeV. Aber das ist eben nur der Endpunkt des Spektrums, das bei
Null (!) anfängt. Auch der Endpunkt wird bei dir effektiv
niedriger liegen, da deine Betas erst mal aus der Quele raus
müssen und dann auch noch durch ein paar cm Luft fliegen -
oder hast du ein Spektrometer mit Hochvakuum ? Und der
Mittelwert oder auch der häufigste Wert liegt _v_i_e_l_
niedriger.

Das mag alles sein, das würde in meinen Augen zeigen, das der Winkel, der gemessen wurde viel kleiner ist als der, der gerechnet wurde.
Bei mir ist es aber leider ganz umgekehrt:
Gerechnet hab ich

Hallo Manny

Das mag alles sein, das würde in meinen Augen zeigen, das der
Winkel, der gemessen wurde viel kleiner ist als der, der
gerechnet wurde.

Nein, das ist anders rum: Kleine Energie, kleiner Impuls, kleiner Krümmungsradius, => GROSSE Ablenkung!
Für Energie gegen unendlich fliegen die Dinger geradeaus.

Bei mir ist es aber leider ganz umgekehrt:
Gerechnet hab ich

Hallo, Kurt, tut mir leid, dass ich nochmal anfrage:

Mal dir halt mal eine Skizze. Elektr. kommen z.B. entlang der
x-Achse, fliegen in den Magent. Im Magnet machen sie (Annahme
homogenes Feld) eine Kreisbahn. Die El. kommen auf einer
Tangente zum Kreis an, der Kreismitelpunkt liegt also im
Abstand R auf der y-Achse. Sie fliegen dann bis zum Ende des
Magn. auf einem Kreisbogen, dann wieder geradeaus
(Tangentenrichtung). Mit etwas Trigonometrie kannst Du dann
den Winkel bzw. den Auftreffpunkt auf deinem Detektor
ausrechnen. Sollte nicht so schwierig sein …

Wenn ich erstmal die Kreisgleichung für den Kreisbogen aufstelle, müssten die doch nach deiner Beschreibung so aussehen:
f(x) = -(0.0913^2-x^2)^0.5+0.0913 für die untere Hälfte und
g(x) = (0.0913^2-x^2)^0.5+0.0913 für die obere Hälfte.

Damit würde es dann jeweils einen Halbkreis geben, der um 0.0913 nach oben verschoben worden ist. Der Kreis hat also Mittelpunkt bei
M(0,0.0913)
So, und da der Magnet auch ein Kreis mit dem Durchmesser von 3cm war stelle ich dann auch eine Kreisgleichung dafür auf, dessen Mittelpunkt im Punkt (0/0) liegt?
Und dann die Schnittpunkte der beiden Kreise berechnen und dann die Tangente in diesem Punkt nehmen?

Ich finds nur so ein bischen komisch, weil auf der linken seite für x

Hi,
lass die Rechnerei, mach erst mal eine Zeichnung! Zeig’ die deinem Lehrer und frag den, ob’s ok ist.
MfG K.