Hallo!
Auf der Arbeit möchte ich gern für Dekobasteleien (zum Verkauf) eine Blume konstruieren, stoße dabei aber auf Probleme.
Die Blume soll so aussehen:
Auf den Eckpunkten eines gedachten gleichmäßigen Fünfecks (das auf einer seiner Seiten steht) sollen sich die Mittelpunkte von fünf Kreisen befinden. Die Kreise ziehe ich so groß, dass sie einander überschneiden (r = 3,5 cm).
Das Fünfeck hat die Höhe h = 10 cm.
Da mein Opensource-Grafikprogramm nicht so leistungsfähig ist, daraus automatisch das Gewünschte erstellen zu können, habe ich mein altes Mathewissen hervorgekramt und im Internet die fehlenden Formeln gesucht, um die weiteren wichtigsten Abmessungen zu errechnen, so dass ich die Eckpunkte in einem Koordinatensystem eintragen kann.
In meinen Berechnungen muss aber irgendwo ein Fehler sein, denn das entstehende Fünfeck ist nicht gleichmäßig, sondern „in die Höhe gezogen“.
Hier meine Schritte:
Verhältnis von h zur Seitenlänge a in einem gleichmäßigen Fünfeck
h = a/2 * Wurzel(5 + 2* Wurzel(5))
a = 6,5 cm
Eckwinkel α des Fünfecks
Summe aller Winkel in einem Polygon mit n Ecken = 180° * (n - 2)
wenn n = 5, dann Winkelsumme = 540°
da alle Winkel gleich groß sein müssen:
α = 540°/5 = 108°
Breite b des Fünfecks an seiner breitesten Stelle
Dazu konstruiere ich ein Dreieck:
Von der obersten Ecke ziehe ich eine Senkrechte nach unten.
Von der links dieser obersten Ecke liegenden „tieferen“ Ecke ziehe ich eine Waagrechte.
Ich kenne nun also 3 Größen in diesem Dreieck:
Die Seitenlänge (und Hypotenuse) a, da eine Fünfeckseite gleichzeitig ein Schenkel des Dreiecks ist,
den Winkel, wo Senkrechte und Waagrechte sich treffen - der muss 90° haben - und
den Winkel zwischen Fünfeckseite und Senkrechter, der α/2 = 54° sein muss.
Gesucht ist b/2, der Schenkel, der sich aus der Waagrechten ergibt.
In diesem Dreieck gilt meines Wissens
a / sin 90° = (b/2) / sin 54°
b = -8,13 cm = 8,13 cm
In welcher Höhe wird die Linie h von b geschnitten?
Dazu sollte es reichen, in dem Dreieck von eben die fehlende Kathetenlänge x zu berechnen und die von h abzuziehen.
(b/2)^2 + x^2 = a^2
x^2 = 25,74 cm^2
x = 5,07 cm
Daher:
h - x = 4,93 cm
In einem Koordinatensystem (Maßeinheit: 1 cm), wo die unten liegende Seite des Fünfecks auf der x-Achse liegt und der äußerste linke Punkt des Fünfecks auf der y-Achse, ergeben sich bei mir folgende Eckpunkt-Koordinaten:
A = (0,82/0)
B = (7,32/0)
C = (8,13/4,93)
D = (4,07/10)
E = (0/4,93)
Wo liegt/liegen mein(e) Fehler?
Natürlich könnt ihr mir auch gleich die Lösungen geben
Verhältnis von h zur Seitenlänge a in einem gleichmäßigen
Fünfeck
h = a/2 * Wurzel(5 + 2* Wurzel(5))
a = 6,5 cm
a=6,498393925
OK
Eckwinkel α des Fünfecks
Summe aller Winkel in einem Polygon mit n Ecken = 180° * (n -
wenn n = 5, dann Winkelsumme = 540°
da alle Winkel gleich groß sein müssen:
α = 540°/5 = 108°
OK
Breite b des Fünfecks an seiner breitesten Stelle
Dazu konstruiere ich ein Dreieck:
Von der obersten Ecke ziehe ich eine Senkrechte nach unten.
Von der links dieser obersten Ecke liegenden „tieferen“ Ecke
ziehe ich eine Waagrechte.
Ich kenne nun also 3 Größen in diesem Dreieck:
Die Seitenlänge (und Hypotenuse) a, da eine Fünfeckseite
gleichzeitig ein Schenkel des Dreiecks ist,
den Winkel, wo Senkrechte und Waagrechte sich treffen - der
muss 90° haben - und
den Winkel zwischen Fünfeckseite und Senkrechter, der α/2
= 54° sein muss.
Gesucht ist b/2, der Schenkel, der sich aus der Waagrechten
ergibt.
In diesem Dreieck gilt meines Wissens
a / sin 90° = (b/2) / sin 54°
b = -8,13 cm = 8,13 cm
hier wirds denk ich falsch
mein Vorschlag:
nimm das Dreieck von der linken Ecke über die obere zur rechten Ecke. Davon kennst du den Winkel oben (108°) und die beiden unteren (symetrisch je 36°) und die beiden Schenkel (jeweils a)
mit dem Sinussatz bekommst du dann die breite:
c=a*sin(108)/sin(36)=10,51462224
In welcher Höhe wird die Linie h von b geschnitten?
Dazu sollte es reichen, in dem Dreieck von eben die fehlende
Kathetenlänge x zu berechnen und die von h abzuziehen.
(b/2)^2 + x^2 = a^2
x^2 = 25,74 cm^2
x = 5,07 cm
Daher:
h - x = 4,93 cm
ff
In einem Koordinatensystem (Maßeinheit: 1 cm), wo die unten
liegende Seite des Fünfecks auf der x-Achse liegt und der
äußerste linke Punkt des Fünfecks auf der y-Achse, ergeben
sich bei mir folgende Eckpunkt-Koordinaten:
A = (0,82/0)
B = (7,32/0)
C = (8,13/4,93)
D = (4,07/10)
E = (0/4,93)
Wo liegt/liegen mein(e) Fehler?
Natürlich könnt ihr mir auch gleich die Lösungen geben
Na klar, hast dir ja viel Mühe gegeben (hab aber glaub ich ne andere Reihenfolge)
Da lag der Fehler …
Danke, ihr zwei!
Ihr lagt beide richtig. Nun klappt’s!
Jetzt habe ich auch den Fehler gefunden: Meine Tabellenkalkulation arbeitet bei der Sinus-Funktion mit dem Bogenmaß.
Da soll mal einer drauf kommen …
