Hallo zusammen.
Meine Frage lautet folgendermaßen: Jemand spielt z.B. ein Glücksspiel mit der Wahrscheinlichkeit 1:100, daß er gewinnt. Falls er verliert, kann er noch mal spielen, jedoch sinkt die Gewinnwahrscheinlichkeit nun auf 1:1000. Falls er wieder verliert kann er wieder weiter spielen, jedoch sinkt dann die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 1:10000 und so weiter. Wenn unser Spieler nun eine gewisse Spielsucht entwickeln sollte und unendlich oft spielen sollte, muß er dann früher oder später mal gewinnen oder doch nicht?
Schon mal Danke für eure Antworten.
Nein muss er nicht.
Das ist unabhängig von der Gewinnchance (es sei denn, sie betrüge 100%). Solange es eine Möglichkeit gibt zu verlieren, gibt es eine gewisse Wahrscheinlichkeit auch bei n Versuchen zu verlieren.
Sie wird für n gegen unendlich zwar unendlich klein, aber nie 0.
Hallo,
Wenn unser
Spieler nun eine gewisse Spielsucht entwickeln sollte und
unendlich oft spielen sollte, muß er dann früher oder später
mal gewinnen oder doch nicht?
Nö.
Im 1. Spiel hat er eine Wahrscheinlichkeit von 1%.
Im 2. Spiel hat er eine Wahrscheinlichkeit von 0,1%.
Im 3. Spiel hat er eine Wahrscheinlichkeit von 0,01%.
Im 4. Spiel hat er eine Wahrscheinlichkeit von 0,001%.
…
Die Wahrscheinlichkeit dass er nach einer gewissen Zahl von Spielen irgendwann zumindest einmal gewinnt ist die Summe dieser Einzelwahrscheinlichkeiten.
Bei unendlich vielen Spielen hast du also: 1% + 0,1% + 0,01% + 0,001% + …
Oder zusammengezählt eben 1,11111…%
Das ändert sich nur noch in den Nachkommastellen. Auf zwei Nachkommastellen gerundet gewinnt er also zu 1,11%. Oder anders gesagt: Zu 98,89% verliert er, selbst wenn er unendlich lange spielt.
Das Problem ist, dass auch eine Summe aus unendlich vielen Summanden nicht unendlich groß sein muss. Vielleicht willst du dir das dazu mal anschauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schild…
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilungsparadoxon
vg,
d.
Hallo
Zunächst einmal: Ein realer Mensch kann zwar sehr oft spielen, aber nicht unendlich oft. Bei endlich vielen Versuchen wird die Wahrscheinlichkeit jedes Mal zu verlieren immer größer als 0 sein (Wenn nicht zufällig schon ein einzelnes Spiel eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 100% hat). Mit ein bisschen Pech kann es also passieren, dass er gar nicht gewinnt.
Wenn man annimmt, dass er wirklich unendlich oft spielt, dann kann er unter gewissen Umständen eine hundertprozentige Gewinnchance haben, obwohl es bei jedem einzelnen Spiel die Möglichkeit zum Verlieren gibt. Das tritt zum Beispiel ein, wenn sich die Gewinnwahrscheinlichkeit bei den einzelnen Spielen nicht verändert oder nur langsam abnimmt, also 1:100, 1:101, 1:102 oder so. In deinem Beispiel liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt aber nur knapp über 1%.
Gruß, sigterm
Hi,
die Summe ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit. Ansonsten wäre die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, nach 6 Würfen gerade 1 und danach höher als 100%.
Richtig ist, dass man doppelt rückwärts denken muss. Die Wahrscheinlichkeit, in allen Versuchen zu verlieren, ist
(1-1%)*(1-0,1%)*(1-0,01%)*…=0,988900111110…,
und dieses Produkt ist nach unten beschränkt durch
1-(1%+0,1%+0,01%+…).
Die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal zu gewinnen, ist also das Komplement des Produktes zur 1 und ist durch die Summe 1%+0,1%+0,01%+…=1,11111…% nach oben beschränkt. Ein genauerer Wert ist 0,011099888890…, also eine Winzigkeit kleiner.
Hingegen entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, keine 6 zu würfeln, nach dem Produkt
(1-1/6)*(1-1/6)*…*(1-1/6)=(5/6)^n,
was eine geometrische Folge mit Grenzwert Null ist. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendwann eine 6 zu würfeln, 1=100%.
Gruß Lutz
Hi,
Die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal zu gewinnen, ist
also das Komplement des Produktes zur 1 und ist durch die
Summe 1%+0,1%+0,01%+…=1,11111…% nach oben beschränkt. Ein
genauerer Wert ist 0,011099888890…, also eine Winzigkeit
kleiner.
Da hast du Recht. Wobei der Unterschied in diesem Fall so klein ist, dass er auf zwei Nachkommastellen nicht mal auffällt. Aber wie du an den Würfeln klar machst, ist das im Allgemeinen nicht so und daher deine Rechnung die Richtige.
vg,
d.