Servus,
hasse ma’ ne Stunde Zeit? 
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Erst das Einfachere: Zahnarzt schickt Rechnung (die Preisfindung richtet sich nach einer vom Staat vorgegebenen Gebührenordnung), Patient oder Sorgeverpflichteter zahlt.
Oder
Wie oben. Patient schickt Rechnung - nach Bezahlung, denn ER ist der Schuldner - an seine Versicherung. Diese trägt den Teil der Rechnungssumme, der in den Vertragsbedingungen vereinbart ist.
Oder
Wie vor, nur dass Patient die Rechnung noch an seine Beihilfestelle schickt (Beamter, oder anderer öffentlicher Diener). Die zahlt ihren Zuschuss, je nach den Vorschriften des entsprechenden Bundeslandes.
Jetzt verlassen wir das Gebiet der ‚Erstattungsleistungen‘, wo irgendeine refinanzierende Stelle dem Schuldner (Patient) einen mehr oder minder großen Teil des Rechnungsbetrages zurück ‚erstattet‘.
Im, wesentlich komplexeren, Bereich der gesetzlichen Versicherung sind (Zahn)Ärzte einem Vertragssystem beigetreten, das Arbeitgeber, Arbeitnehmer, Krankenkassen und ‚Leistungserbringer‘ nach Maßgabe von Gesetzen zusammenbindet. Die Regeln dfür finden sich in den Sozialgesetzbüchern. Die Patienten sind einem solchen Vertrag nicht durch eine persönliche Willenbekundung beigetreten, sondern gehören einer Bevölkerungsgruppe an, deren Zugehörigkeit zu diesem System der Gesetzgeber festgelegt hat. Drum sind das dann die ‚gesetzlich Versicherten‘, vulgo ‚Kassenpatienten‘. Dieses Konzept ist zu Bismarcks Zeiten (ca 1870) in der ‚Reichsversicherungsordnung‘ erstmal in Deutschland verwirklicht worden. Die Versicherten haben keinen Anspruch auf differenzierte konkrete Leistungen, sondern den, behandelt zu werden, wenn sie krank sind (Sachleistung). Dieser Unterschied ist wichtig, weil damit die Entscheidungssouveränität von Patient und Arzt grundsätzlich eingeschränkt ist. Umfangreiche Regelwerke greifen in die Art der Behandlung (Leistungserbringung) ein und bestimmen über die Art der Behandlung ebenso, wie über die Bedingungen, unter denen die Honorare bezahlt werden. Ein US-amerikanischer Zahn/Arzt würde den regelnden Staat und die Krankenkassen als ‚third parties‘ bezeichnen.
Die KVen und KZVen sind - als Teile der sog. Selbstverwaltung - damit betraut im virtuellen Auftrag aller Beteiligten (übrigens auch der Arbeitgeber), bei den Zahn/ärzten zu erheben, welche Leistungen sie erbracht haben und ‚abrechnen‘ wollen. Die Summe teilen sie den Krankenkassen mit und die bezahlen - ohne den einzelnen Leistungsanspruch eines Zahn/Arztes zu kennen - einen Gesamtbetrag mit ‚befreiender Wirkung‘ qaurtalweise an die K(Z)V’en aus. Gezahlt wird ca. ein halbes Jahr nach Leistungserbringung, nachdem umfangreiche Prüfungsmechanismen gewährleisten sollen, dass Geld nur für vertragsgerecht erbrachte Leitungen bezahlt wird.
Sonderfälle:
Es gibt auch noch gesetzliche Unfallversicherungen (wenn Du, als Schüler in der Pause hinfällst und Dir den Kiefer brichst, ist die zB zuständig) und Knappschaften (??) mit denen ich mein klares Bild von der Struktur unseres Gesundheitswesens nicht vernebeln möchte ). Deshalb lass’ ich’s jetzt gut sein, weil Du es jetzt wahrscheinlich gar nicht mehr so dringend wissen willst, oder?
Gruß
Kai Müller