Hallo an alle sitz grad vor meinem neuen Analysis Blatt und komm bei folgender Aufgabe nicht weiter:
a) Bestimme in R den Abschluss, den Rand und das Innere der Menge
{(-1/2)^n + 1/m | n,m €N}
b) Bestimme in C den Abschluss, den Rand und das Innere der Menge
{1/n + i/m |n,m €N}
Wäre echt dankbar für jede Hilfe
Gruß Daniel
Hallo,
a) Bestimme in R den Abschluss, den Rand und das Innere der
Menge
{(-1/2)^n + 1/m | n,m €N}
Ich würde sagen:
sei A={(-1/2)^n + 1/m | n,m €N} Dann:
Inneres = {}
Rand = A U {0}
Abschluss = A U {0}
b) Bestimme in C den Abschluss, den Rand und das Innere der
Menge
{1/n + i/m |n,m €N}
Hier ebenso:
Sei B = {1/n + i/m |n,m €N} Dann
Inneres = {}
Rand = B U {0}
Abschluss = B U {0}
Alle Angaben ohne Gewähr
Gruß
Oliver
Hallo an alle weiss jetzt zwar den Abschluss Rand und das Innere aber wie beweist man sowas?
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß Daniel
Hallo an alle weiss jetzt zwar den Abschluss Rand und das
Innere aber wie beweist man sowas?
Gut ,dass du das weißt, woher auch immer,
aber nimm nicht die Angaben von Oliver, die sind nämlich etwas falsch. z.B ist bei der ersten Menge die Null auf jeden Fall mit drin, wenn man n=1 und m=2 setzt, außerdem sind da evtl. ein paar Tippfehler unterlaufen, oder die Begriffe Rand und Inneres sind nicht ganz klar. Die Menge A z.B ist auf jeden Fall ein abgeschlossenes Intervall.
Also bewiesen werden bei solchen eher einfachen Mengen die Angaben nicht, da wird das einfach so gesagt, nach dem Motto: Sieht man. Ansonsten kannst du typisch für topologische Beweise, mit: Sei x aus A… offenen Umgebungen und so arbeiten, wir mussten früher in den Übungen nur die Angaben selbst machen, ist ja eigentlich auch ausreichend.
MfG
Hallo, wenn ich mich da einmischen darf… Es geht um die Mengen
A := {(-1/2)^n + 1/m | n,m in N},
B := {1/n + i/m | n,m in N}.
Die Menge A z.B ist auf jeden
Fall ein abgeschlossenes Intervall.
Das trifft sicher nicht zu. Ein Intervall enthält überabzählbar viele Punkte, dagegen sind A und B offensichtlich abzählbar. Aber vielleicht meinst Du „abgeschlossene Menge“.
Also bewiesen werden bei solchen eher einfachen Mengen die
Angaben nicht, da wird das einfach so gesagt, nach dem Motto:
Sieht man.
Hm, und ich dachte man könnte mit solchen Aufgaben einfache Beweistechniken üben…
Ich vesuche mal anhand der ersten Menge vielleicht einen möglichen Lösungsweg zu formulieren.
Der erste Teil ist natürlich etwas heuristisch, d.h. man versucht sich anschaulich klar zu machen, welche Situation vorliegt. Gerade wenn man sich nicht sicher ist, ist übrigens eine Zeichnung nicht unnütz. Die gemachten Vermutungen kann man meist recht schnell z.B. anhand der Definitionen der jeweiligen Begriffe beweisen.
Die Punkte (-1/2)^n sind offenbar Glieder einer alternierenden Nullfolge:
-1/2, 1/4, -1/8, 1/16…
Auch der zweite Summand besteht aus Gliedern einer Nullfolge:
1, 1/2, 1/3, 1/4…
Die „resultierende“ Menge besteht aus allen vorkommenden Summen, d.h. es sind nur um die Null „verstreute“ Punkte, wobei -1/2 nie unterschritten und 1+1/4 nie überschritten wird. Einziger Punkt um den sich das ganze häuft, ist der Nullpunkt (beide Folgen sind konvergent, haben also nur einen Häufungspunkt). Dieser gehört hier, wie Dima auch schon festgestellt hat, zur Menge mit dazu.
Jetzt muss man, nachdem die Situation anschaulich klar ist, die Definitionen und die Beziehungen zwischen den Begriffen zur Hilfe nehmen, um die Fragen zu beantworten. Fangen wir mit dem Abschluss cl A (closure A) an. Er ist immer eine Vereinigung aus der Menge selbst und den Häufungspunkten (die nicht notwendig zur Menge gehören müssen wie z.B. im Fall {1/n|n in N}). Hier gehört der einzige Häufungspunkt zur Menge dazu, es ist also:
cl A = A
Die Inklusion von rechts nach links ist immer erfüllt, für die umgekehrte Richtung muss man also nur zeigen, dass alle Häufungspunkte in A liegen. Welche sind das? (Definition nachschlagen). Für jedes von Null verschiedene a in A kann man ein (hinreichend kleines) r>0 angeben, derart dass das punktierte offene Intervall
(a-r, a+r) \ {a}
die Menge A nicht schneidet (Für jedes a0 enthält das Intervall (a-|a|/2, a+|a|/2) nur endlich viele Punkte aus A, wie man leicht ausrechnen kann. Daher ist der Schnitt mit dem offenen Intervall (a-a/2^k, a+a/2^k) für große k leer). Es kommt also nur die Null als Häufungspunkt in Frage - dieser Punkt liegt jedoch in A. Man muss hier also nicht einmal zeigen, dass die Null ein Häufungspunkt ist (bei B sollte man das tun, es ist aber nicht schwer…).
Ein Punkt a liegt im Inneren von A (int A), wenn es ein Intervall (a-r, a+r) gibt, das vollständig in der Menge A liegt. Gäbe es das tatsächlich, wäre wie schon ganz oben erwähnt, eine überabzählbare Menge Teilmenge von A und damit auch A überabzählbar. Da dies offenbar nicht der Fall ist, muss
int A = {}
sein. Schließlich gilt
Rand A = (cl A) \ (int A) = A \ {} = A.
Gruß,
Martin
P.S. Daniel, bist Du tatsächlich 15-16 Jahre alt und Schüler?
Hallo,
aber nimm nicht die Angaben von Oliver, die sind nämlich etwas
falsch. z.B ist bei der ersten Menge die Null auf jeden Fall
mit drin, wenn man n=1 und m=2 setzt,
Stimmt, dass die Null mit zu A gehört hab ich in der Eile glatt übersehen. Trotzdem sind meine Angaben richtig, weil ja dann A U {0} = A gilt.
Also hab ich zum Glück nichts falsches geschrieben!
Gruß
Oliver