(absolute) Konvergenz

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo.
Ich habe eine Frage, die sich nach der heutigen Mathevorlesung stellt. Es ging heute um Konvergenz und absolute Konvergenz. Wie das mit den Absolutbeträgen funktioniert ist mir klar, auch was Sinn und Zweck davon ist, habe ich, denke ich begriffen. Nun schrieb der Prof aber irgendwann folgenden Satz an die Tafel:

Eine abolut konvergente Reihe konvergiert.

Mir hat sich dabei nicht erschlossen, weshalb er das explizit erwähnt, da aus den Kriterien für absolute Konvergenz ja eigentlich schon hervorgeht, dass eine solche Reihe auf jeden Fall konvergiert und die absolute Konvergenz eine nützliche, zusätzliche Eigenschaft ist. Deshalb stellt sich mir nun die Frage, was denn der Grund für diese explizite Erwähnung sein könnte. Hat das eventuell damit zu tun, dass z.B. eine Reihe nur sehr schwer auf Konvergenz zu überprüfen sein kann, der Nachweis der absoluten Konvergenz aber unter Umständen wesentlich einfacher ist und letzten Endes die Konvergenz der Reihe beweist?

MfG,
TheSedated

#2

Eigentlich stimmt hier beides.
Man hat zunächst ja nur Konvergenz definiert, danach (davon unabhängig) absolute Konvergenz. Da der Name im Prinzip „willkürlich“ gewählt ist, sagt das noch lange nicht aus, dass aus absoluter Konvergenz auch „normale“ Konvergenz folgt. Auch wenn man das unschwer zeigen kann, muss man das trotzdem noch tun. Wir hatten letztens einen ähnlichen Satz: „Jede offene Kugel ist offen.“ :wink:

Und mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium z.B. weist man absolute Konvergenz nach, soweit ich weiß.
Das einzige Kriterium, das mir spontan einfällt und ausschließlich „normale“ Konvergenz nachweisen kann, ist das Leibniz-Kriterium.

mfg,
Ché Netzer

#3

Ja, denke ich auch, das mit der absoluten Konvergenz kam auch erst nachdem der Prof das Leibniz-Kriterium erklärt hatte und vor Wurzel- und Quotientenkriterium. Hat mich eben im Nachhinein nochmal aufhorchen lassen, dass das nochmal gesondert erwähnt wird. Ansonsten ist mir die Sache eigentlich klar. Wenigstens ein Thema, bei dem ich nicht erstmal tagelang vor meinen Aufzeichnungen sitze und keine Ahnung habe, was das heissen soll. ^^

MfG,
TheSedated