Abstand Geradenschar-Ursprung

Wissenschaft Mathematik
#1

ich schreib die Vektoren als Punkte, also bitte dementsprechend umdenken.
Das andere ist für mich nicht darstellbar!

Geradenschar gt : vektor x = (4+3t / t / 4t-3) + lamda * (-3 / 2 / -4) mit lamda, t € R

Hab das ganze schon auf 2 Wegen versucht, zu lösen, gelange jedoch nicht zum

gewünschten Ergebnis, und bekomme lediglich Brüche raus.

Der 1. Weg war:

Formel aufstellen für Abstand Ursprung zu einem beliebigen Punkt X der Geradenschar

und die habe ich dann abgeleitet und die Ableitung = 0 gesetzt, um die Parameter für den

minimalen Abstand zu bekommen.

  1. Weg:

Abstandsformel Punkt-Gerade genommen und dann wieder dasselbe Spiel.

Wäre sehr dankbar für jede Hilfe, schreiben morgen über das Thema eine Klausur!

Bereits vielen Dank im Voraus!!!

#2

Die Geradenschar bildet eine Ebene. Dies wird sofort ersichtlich, wenn man die Gleichung in Parameterform aufschreibt, wobei t und lamda die Parameter sind:

Vektor x = (4, 0, -3) + (3, 1, 4) * t + (-3, 2, -4) * lamda

Für die Berechnung des Abstandes dieser Ebene zum Ursprung eignet sich die Hessesche Normalform (siehe Wikipedia) der Ebene am besten, denn es gilt:

d = Skalarprodukt( Vektor P, Vektor N0 )

Wobei Vektor P irgend ein Punkt der Ebene und Vektor N0 der auf Länge 1 normierte Normalenvektor der Ebene ist. d ist dann der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Einen Punkt auf der Ebene haben wir: P = (4, 0, -3)

Den Normalenvektor N können wir einfach aus dem Kreuzprodukt von zwei Vektoren bilden, die in der Ebene liegen. Aus der Parameterform können wir zwei solche Vektoren gleich ablesen:

Vektor g = (3, 1, 4)

Vektor h = (-3, 2, -4)

Daraus kann nun der Normalenvektor und der normierte Normalenvektor berechnet werden:

Vektor N = Vektorprodukt( g, h )

Vektor N0 = Vektor N / Betrag( Vektor N )

Somit haben wir alle nötigen Vektoren, um den Abstand der Geradenschar vom Ursprung zu berechnen:

d = Skalarprodukt( Vektor P, Vektor N0 )

#3

ich schreib die Vektoren als Punkte, also bitte
dementsprechend umdenken.
Das andere ist für mich nicht darstellbar!

Geradenschar gt : vektor x = (4+3t / t / 4t-3) + lamda * (-3 /
2 / -4) mit lamda, t € R

Hab das ganze schon auf 2 Wegen versucht, zu lösen, gelange
jedoch nicht zum

gewünschten Ergebnis, und bekomme lediglich Brüche raus.

Der 1. Weg war:

Formel aufstellen für Abstand Ursprung zu einem beliebigen
Punkt X der Geradenschar

und die habe ich dann abgeleitet und die Ableitung = 0
gesetzt, um die Parameter für den

minimalen Abstand zu bekommen.

  1. Weg:

Abstandsformel Punkt-Gerade genommen und dann wieder dasselbe
Spiel.

Wäre sehr dankbar für jede Hilfe, schreiben morgen über das
Thema eine Klausur!

Bereits vielen Dank im Voraus

Also der Abstand ist ja €R und nicht €R^3, zu bestimmen über Pythagoras. Einfach damit die Länge des resultierenden Vektors bestimmen. Oder suchst du den minimalen Abstand? Dann musst du die Länge deines zur Geradenscharr ortogonalen Vektors, der durch den Ursprung geht berechnen. Hoffe, eins von beidem war gemeint. Mfg