Abstand zwischen Gerade und Punkt

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo,
ich sitzte nun schon längerer Zeit an der folgenden Aufgabe:

Es soll der Abstand zwischen A und der Geraden durch P1 und P2 angegeben werden.

P1:
\bigl(\begin{smallmatrix}
-1\ 1

\end{smallmatrix}\bigr)
P2:
\bigl(\begin{smallmatrix}
1\ 2

\end{smallmatrix}\bigr)

A:
\bigl(\begin{smallmatrix}
2\ 3

\end{smallmatrix}\bigr)

Mein Gedanke war nun, dass ich den Vektor zwischen A und P1 ausrechne und zusammen mit der Geraden durch P1 und P2 den Winkel ermittle. Danach kann ich diesen in die Kosinus-Formel einsetzen und muss nur noch die Länge der Ankathete bestimmen.

Ran an die Arbeit:

cos\alpha = \frac{\left \langle \vec{P1P2},\vec{P1A} \right \rangle}{\left | \vec{P1P2} \right | \cdot \left | \vec{P1A} \right |} = … = \frac{7}{2\cdot \sqrt{10}}

dann cos^{-1}

wodurch ich \alpha = 0.45814 i erhalte.

Nun frage ich mich, warum ich eine Imaginäre Zahl als Ergebnis bekommen. Rein graphisch gesehen müsste es ja funktionieren.

Mit einer anderen Formel bin ich übrigens zu dem Ergebnis gekommen, dass Abstand etwa 0,45 Längeneinheiten beträgt. Doch trotzdem würde ich gerne Erfahren warum ich so ein merkwürdiges Ergebnis erhalte.

Schon jetzt, Vielen Dank für Eure Hilfe und natürlich Frohe Feiertage.

Mit freundlichen Grüßen

G-Fire

2

Hallo

ich sitzte nun schon längerer Zeit an der folgenden Aufgabe:

Es soll der Abstand zwischen A und der Geraden durch P1 und P2
angegeben werden.

P1:
\bigl(\begin{smallmatrix}
-1\ 1

\end{smallmatrix}\bigr)
P2:
\bigl(\begin{smallmatrix}
1\ 2

\end{smallmatrix}\bigr)

A:
\bigl(\begin{smallmatrix}
2\ 3

\end{smallmatrix}\bigr)

1.Gleichung für die Gerade durch P1 und P2
2.Gleichung für eine Gerade durch A(Steigung=Kehrwert wie 1.Gleichung)

Schnittpunkt S beider Gleichungen ermitteln.
Dann ist der Abstand a wie bekannt zu ermitteln
a=sqr((xS-xA)^2+(yS-yA)^2)
Natürlich steht dies auch so in den Lehrbüchern.

Da gibt es keine Vorzeichenprobleme welche bei der Berechnung
mit Winkelfunktionen auftreten könnten.
Gruß VIKTOR

3

Hallo,

von P1 = (–1, 1) zu P2 = (1 | 2) sind es „zwei Kästchen nach rechts und ein Kästchen nach oben“. Dann ist die P1-P2-Entfernung aber mit Sicherheit nicht 2.

\frac{7}{2\cdot \sqrt{10}}

muss richtig lauten

\frac{8}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{13}}

und dann klappts auch mit dem arccos, denn dieser Bruch ist kleiner als 1. Wie rechnest Du Skalarprodukte und Abstände aus?

Gruß
Martin

4

Meine Lösung:

\vec{P1P2} =
\binom{1}{2} - \binom{-1}{1} = \binom{2}{1}

\vec{P1A} =
\binom{2}{3} - \binom{-1}{1} = \binom{3}{2}

cos\alpha = \frac{\left \langle \vec{P1P2},\vec{P1A} \right
\rangle}{\left | \vec{P1P2} \right | \cdot \left |
\vec{P1A} \right |} = \frac{\left \langle \binom{2}{1},\binom{3}{2} \right
\rangle}{\left | \binom{2}{1} \right | \cdot \left |
\binom{3}{2} \right |} = \frac{6+2}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}+2^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{13}}

cos^{-1} ausrechnen

\alpha = 7,13
^{\circ}

Das nun geschwind in die Sinus-Formel eingesetzt:

\sin(7,13^{\circ}) = \frac{x}{\sqrt{13}}
x \approx 0,447525

Und siehe da: Es stimmt :smile:

Mein Fehler lag an der Länge der Vektoren
\vec{P1P2} und
\vec{P1A} . Diese habe ich am Anfang falsch ausgerechnet und blöderweise immer wieder verwendet.

Nochmals vielen Dank für Eure Hilfe. Frohes Fest!

Mit freundlichen Grüßen

G-Fire

5

Hallo,

Und siehe da: Es stimmt :smile:

ich kenn das: kaum macht mans richtig, kommt das korrekte Ergebnis raus :wink:

Du kannst es auch gleich allgemein durchziehen:

Mit

\vec{a} := \vec{P_1 P_2}

\vec{l}:= \vec{P_1 A}

\alpha := \angle(\vec{a}, \vec{l})

d := \textnormal{der gesuchte Abstand von A zur Geraden}

sieht die Rechnung so aus:

d
= l \sin\alpha
= l \sqrt{1 - \cos^2\alpha}
= l \sqrt{1 - \Big(\frac{\vec{a} \cdot \vec{l}}{a l}\Big)^2}

Dir auch schöne Weihnachten
Martin