Hallo,
Ich schlage mich gerade mit dem Abtasttheorem bei Abtastung
von (digitalen) Signalen herum.
Dir ist aber bekannt, dass digitale Signale IMMER gegen das Abtasttheorem verstoßen? Weil ein Rechtecksignal ja Oberwellen bis wer-weiss-wohin enthält?
Mir ist soweit eigentlich klar, warum das Abtasttheorem
definiert wurde.
Jedoch verstehe ich nicht, warum die Bandweitenbegrenzung
existiert.
Mal Dir einen Sinus. Taste ihn ab, indem Du von der X-Achse aus in konstantem Abstand (Abtastperiode) senkrechte Linien zum Sinus ziehst - das sind die Abtastpunkte mit den zugehörigen (noch analogen) Abtastwerten. Diese Punkte entstehen durch das Abtast-Halteglied am Eingang des A/D-Wandlers und werden durch den Wandler in digitale Werte umgewandelt.
Jetzt überlege Dir die Rückwandlung der gewonnenen Werte in eine Kurve. Es entsteht eine Art Treppenfunktion. Diese könnte man durch einen geeigneten Tiefpass wieder in den ursprünglichen Sinus zurück verwandeln.
Was passiert aber, wenn die Abtastpunkte (bei gleicher Sinusperiodendauer) weiter auseinander wandern? Irgendwann sind sie so weit auseinander, dass der Sinus nur noch zweimal pro Periode abgetastet wird. Nun tritt das Problem auf, dass es nicht mehr eindeutig ist, wie die Phasenlage des Sinus in Bezug auf die Abtastwerte liegt - es gibt mindestens zwei Möglichkeiten. Und wenn die Abtastwerte zufällig genau in den Nulldurchgängen des Sinus liegen, gibt es sogar unendlich viele Sinuskurven, die zu den gleichen Abtastwerten passen. Das Signal ist also nicht mehr eindeutig zurück zu wandeln.
Wird sie verwendet um - bei Abtastung des periodischen Signals
innerhalb eines begrenzten Fensters - die Rekonstruktion des
Signals zu ermöglichen, indem an den Rändern des Fensters die
Phasenverschiebungen im Nulldurchgang gedämpft werden?
Das verwechselst Du mit der Fensterfunktion bei einem Spektrumanalyzer. Bei einer FFT wird immer nur ein zeitlicher Ausschnitt des Signals erfasst. Die Rechenvorschrift geht aber davon aus, dass es ein periodisches Signal ist und hängt virtuell den abgetasteten Ausschnitt des Signals unendlich oft aneinander, als ob es tatsächlich genau eine Periode des Signals wäre.
Wenn nun aber die Periode gar nicht genau einer Fensterbreite entspricht, passen Ende und Anfang des Ausschnitts nicht aneinander - es ergibt sich ein Sprung an dieser Stelle, der zusätzliche Frequenzanteile ‚hinzuerfindet‘, die gar nicht vorhanden sind. Um das zu vermeiden, wendet man auf den abgetasteten zeitlichen Ausschnitt die Fensterfunktion an, die die Mitte des Ausschnitts gegenüber den Rändern bevorzugt, dabei die unerwünschten virtuellen Frequenzanteile unterdrückt, aber leider auch (ein wenig, je nach Fensterfunktion) das abgetastete Signal verzerrt.
Mit Antialiasing hat das aber nichts zu tun.
Gruß
loderunner