Hallo,
Zahlen 1,2,3 … n aufaddiert und das Ergebnis mit sich selbst multipliziert ergibt immer das Gleiche, wie dieselben Zahlen in ihrer dritte Potenz aufaddiert.
==> gibt es da einen Ausdruck dafür, Erklärungen, Beweise, Sonstiges… ?
Bsp:
(1+2+3+4+5)2 = 225 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53
Danke
Albrecht
Wir beweisen mit vollständiger Induktion, dass
(1 + … + k)*(1 + … + k) = 1*1*1 + … + k*k*k
für alle natürlichen Zahlen k=1,2,…, gilt:
Induktionsanfang:
Die Gleichung ist für k=1 richtig, denn 1*1=1*1*1
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte (1 + … + n)*(1 + … + n) = 1*1*1 + … + n*n*n
Induktionsbeweis:
Wir beweisen nun, dass unter dieser Voraussetzung immer auch
(1 + … + (n+1))*(1 + … + (n+1))
= 1*1*1 + … (n+1)*(n+1)*(n+1) gilt.
(1 + … + (n+1))*(1 + … + (n+1))
= (1 + … + n + (n+1))*(1 + … + n + (n+1))
= (1 + … + n)*(1 + … + n) + 2*(1 + … + n)*(n+1)
= 1*1*1 + … + n*n*n + 2*(1 + … + n)*(n+1)
In dieser Gleichung ersetzen wir den Term (1 + … + n)
durch (n+1)*n/2 (Summenformel nach Gauss, kann auch mit vollständiger Induktion bewiesen werden oder durch die Überlegung, dass die Summe dieser Zahlenreihe gleich dem halben Produkt aus der Summe der ersten und der letzten Zahl und der Zahl der Summanden ist).
= 1*1*1 + … + n*n*n + 2*(n+1)*n/2*(n+1) + (n+1)*(n+1)
= 1*1*1 + … + n*n*n + n*(n+1)*(n+1) + 1*(n+1)*(n+1)
= 1*1*1 + … + n*n*n + (n+1)*(n+1)*(n+1)
= 1*1*1 + … + (n+1)*(n+1)*(n+1)
Torsten
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