Ähnlichkeit von Matrizen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen!

Ich versuche momentan praktische Möglichkeiten zu finden wie ich „schnell“ sagen kann ob zwei Matrizen ähnlich sind. Die Gleichung
B,=,Q\cdot A\cdot Q^{-1}

beschreibt das ja grundsätzlich, allerdings finde ich keine praktikable Lösung wie ich beweisen kann, dass es so eine Matrix gibt bzw. eben nicht gibt.

Ich habe gelesen, dass ähnliche Matrizen die gleichen Eingewerte und demnach auch das gleiche charakteristische Polynom haben. Ist diese Inklusion umkehrbar? Wenn zwei Matrizen das gleiche char. Polynom und die gleichen Eigenwerte haben sind sie ähnlich?

Oder was für andere Möglichkeiten gibt es um die Ähnlichkeit zweier Matrizen zu überprüfen?

Gruss und Dank im Voraus
Palandrion

#2

Ich habe gelesen, dass ähnliche Matrizen die gleichen
Eingewerte und demnach auch das gleiche charakteristische
Polynom haben. Ist diese Inklusion umkehrbar? Wenn zwei
Matrizen das gleiche char. Polynom und die gleichen Eigenwerte
haben sind sie ähnlich?

Hallo,

nein, diese Umkehrung gilt nicht. Allerdings gilt, dass zwei Matrizen mit dem selben Minimalpolynom bzw. mit der selben Jordannormalform ähnlich zueinander sind. Du kannst also von beiden Matrizen das Minimalpolynom (oder die Jordannormalform) bestimmen und dann vergleichen.
Der Grund, warum das mit dem Minimalpolynom funktioniert mit dem charakteristischen Polynom aber nicht, ist, dass von den zwei Matrizen nicht nur die Eigenvektoren sondern auch die dazugehörigen algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (also quasi die Eigenräume) übereinstimmen müssen.

Gruß

hendrik

#3

Hallo Hendrik!

Minimalpolynom und Jordan-Form klingt schon mal sehr gut, damit kann ich was anfangen.

Schliesse ich auch korrekt, dass folgende Bedingungen ausreichend sind?

  • Gleiches ch. Polynom -> Gleiche Eigenwerte
  • Vielfachtheit der Eigenwerte ist gleich

Gruss
Palandrion

#4

Schliesse ich auch korrekt, dass folgende Bedingungen
ausreichend sind?

  • Gleiches ch. Polynom -> Gleiche Eigenwerte

Richtig.

  • Vielfachtheit der Eigenwerte ist gleich

Wenn das charakteristische Polynom gleich ist, dann haben die Eigenwerte die gleichen algebraischen Vielfachheiten. Aber damit die Matrizen ähnlich sind müssen auch die geometrischen Vielfachheiten (die Dimensionen der Eigenräume) übereinstimmen. Und diese Information bekommst du aus dem Minimalpolynom oder der Jordannormalform.

Gruß

hendrik

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#5

Perfekt, vielen Dank für die einleuchtenden Erklärungen :smile: