äquivalente Terme, tautologische Aussagen

Wissenschaft Mathematik
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Hallo miteinander

Ich beschäftige mich gerade mit der Polynomdivision und bin dabei auf folgende Fragen gestossen:

Frage 1:

(x^{7}-1):frowning:x^{3}-1)=x^{4}+x+\frac{x-1}{x^{3}-1}

Wenn ein Term mittels der Polynomdivison umgeformt wird, so entsteht ja ein äquivalenter Term. Müsste dann zwischen den beiden Termen, anstatt des Gleichheitszeichen, nicht das Äquivalenzzeichen stehen ()?

Frage 2:
Die selbe Frage habe ich mir auch schon zu meiner Formelsammlung gestellt, im Prinzip stehen ja auch in einer Formelsammlung äquivalente Terme, oder?

Über google habe ich rausgefunden, dass Gleichungen, welche bei jeder Einsetzung ein wahre Aussage ergeben, tautologische Gleichungen heissen.
Ist es richtig, dass tautologische Gleichungen nichts anderes sind, als äquivalente Terme?

Vielen, vielen Dank für eure Hilfe
Andrea

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moin;

Das Wort Äquivalent, das du verwendest, ist nicht komplett gleichbedeutend mit der logischen Äquivalenz.

Bei Gleichungen möchtest du eine Gleichheit von Zahlen feststellen. Bei äquivalenten Gleichungen hingegen möchtest du die Gleichheit von logischen Werten , also wahr oder falsch, feststellen. Da logische Werte nur Gleichungen und keine Terme liefern, kann zwischen Termen keine Äquivalenz bestehen.

mfG

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moin

Also in meinem Buch steht es so:

„Zwei Terme heissen äquivalent, wenn sie bei jeder zulässigen Einsetzung den gleichen Wert haben.“

„Zwei Gleichungen heissen äquivalent, wenn sie die selbe Lösungsmenge haben.“

Laut deiner Definition wären also alle Gleichungen, die den selben Wahrheitswert haben, äquivalent zueinander.
Es wären also z.B. alle wahren Gleichungen äquivalent.

Habe ich dich so richtig verstanden?

Vielen Dank für deine Antwort
Andrea

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Moin, Andrea,

Müsste dann zwischen
den beiden Termen, anstatt des Gleichheitszeichen, nicht das
Äquivalenzzeichen stehen ()?

streng genommen ja. Manchmal ziehen sich solche Umformungen bei der Entwicklung der Lösung aber über mehrere Seiten, ohne dass die Äquivalenz interessieren würde.

Das Äquivalenzzeichen wird gesetzt, wenn hervorgehoben werden soll, dass links und rechts das Gleiche steht, also oft am Ende eines Beweises.

Über google habe ich rausgefunden, dass Gleichungen, welche
bei jeder Einsetzung ein wahre Aussage ergeben, tautologische
Gleichungen heissen.
Ist es richtig, dass tautologische Gleichungen nichts anderes
sind, als äquivalente Terme?

Nein. Mit der Einsetzung ist hier nicht die Umformung gemeint, sondern das Einsetzen konkreter Werte. Anders ausgedrückt: Egal, was ich in die Gleichung an konkreten Zahlen einsetze, es kommt immer das Gleiche raus.

Abgesehen davon: Von Tautologie spricht man nicht bei mathematischen Gleichungen, sondern bei logischen Termen. Ein logischer Term ist dann tautologisch, wenn er unabhängig von den Werten der Eingangsvariablen immer wahr ist.

Gruß Ralf

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Hallo Andrea,

das Wort „äquivalent“ ist sehr vielseitig. Es sagt im Grunde nur aus, dass die beiden Objekte, die „äquivalent“ sind, zu einer Klasse einer bestimmten Äquivalenzrelation gehören (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzrelation).
Mit welchem Symbol man diese Äquivalenz beschreibt, hängt von der betrachteten Relation ab. So schreibt man die Äquivalenz von Aussagen (also von etwas, das wahr oder falsch sein kann) mit dem Doppelpfeil ⇔, die Kongruenz von geometrischen Objekten (die ja auch eine Äquivalenz ist) mit drei parallelen Strichen ≡ und die Äquivalenz von Termen mit dem Gleichheitszeichen =.
Den Doppelpfeil kann man hier nicht verwenden, weil Terme nicht wahr oder falsch sein können. (Oder ist x²+2x+1 wahr?)

Liebe Grüße
Immo

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Hallo, Vokietis

Vielen Dank für deine Antwort, ich bin aber noch nicht ganz sicher, ob ich sie und den Wiki-Artikel verstanden habe. Ist es so richtig?

Äquivalente Gleichungen, bzw. Aussagen:
Definition:
2 Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die selbe Lösungsmenge haben.
Symbol:
Doppelpfeil:
\Leftrightarrow

Äquivalente Terme
Definition:
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Symbol:
Gleichheitszeichen:=

Ein neues Beispiel
4x=2x+3

Jede Gleichung besteht ja aus 2 Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
Folglich müssten ja beide Terme äquivalent zueinander sein.Gemäss obiger Definition sind die Terme (4x & 2x+3) aber nicht äquivalent.

Ich habe mehr und mehr den Eindruck, dass ich mir unter dem Begriff „äquivalenter Term“ etwas Falsches vorstelle, obwohl die obige Definition direkt aus meinem Buch abgeschrieben ist.

Habe ich deine Antwort nicht richtig verstanden, oder soll ich mein Mathe-Buch wegschmeissen?

Bitte entschuldigt meine Begriffsstutzigkeit.
Vielen, vielen Dank für eure Hilfe

Andrea

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Hallo Andrea!

Äquivalente Gleichungen, bzw. Aussagen:
Definition:
2 Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die selbe Lösungsmenge
haben.
Symbol:
Doppelpfeil:
\Leftrightarrow

Äquivalente Terme
Definition:
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen
Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der
Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Symbol:
Gleichheitszeichen:=

Das ist soweit richtig.

Ein neues Beispiel
4x=2x+3

Die Terme beiderseits des Gleichheitszeichens sind nicht (für alle reellen Zahlen) äquivalent.

Jede Gleichung besteht ja aus 2 Termen, die durch ein
Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
Folglich müssten ja beide Terme äquivalent zueinander
sein.

Eben nicht. Wenn Du nämlich eine Gleichung lösen möchtest, stellst Du eine Frage, nämlich diese:

Für welche Zahlen x sind die Terme äquivalent?

Oder, wenn Du näher an der Wiki-Definition bleiben möchtest:

Auf welchem Definitionsbereich sind die Terme äquivalent?

Dann bestimmst Du die Lösung und weißt:

Für x=1,5 (bzw. auf Db={1,5}) sind die Terme 4x und 2x+3 äquivalent.

Wenn Du nun eine Gleichung nicht lösen möchtest, sondern angibst, – ja, auch dann musst Du den Definitionsbereich angeben. Wenn er nicht dasteht, ist meistens der Bereich der reellen Zahlen gemeint. Beispiel:

(a+b)²=a²+b²+2ab (gilt für a,b aus einer beliebigen abelschen Halbgruppe, insbesondere für a,b in R.)

Wurzel(a²)=|a| (gilt für alle reellen Zahlen a)

Wurzel(a²)=a für positive a

a²+b²=c² (gilt für Seitenlängen eines rechtwinkligen euklidischen Dreiecks, wobei c die Hypotenuse misst und a bzw. b die verschiedenen Katheten)

x²=x (gilt für beide Elemente des zweielementigen Körpers F 2)

Ich habe mehr und mehr den Eindruck, dass ich mir unter dem
Begriff „äquivalenter Term“ etwas Falsches vorstelle, obwohl
die obige Definition direkt aus meinem Buch abgeschrieben ist.

Ich habe diesen Eindruck nicht. Das Problem entsteht vielmehr durch ungenaue Formulierungen, weil eben viele Bücher nicht den Unterschied zwischen „es gibt ein x, so dass die Terme äquivalent sind“ und „für alle x (aus R ) sind die Terme äquivalent“ sauber durchhalten.

Liebe Grüße
Immo

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Hallo Vokietis

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort,- endlich habe ich den Unterschied verstanden - dafür gibts ein Sternchen.

Vielen, vielen Dank für deine Mühe
Andrea