Äquivalenzrelation

[leo_3e7b21]

Hallo alle zusammen,

ich bin gerade bei Algebra Übungsaufgaben, und hab Probleme mit folgenden Aufgaben:

1. Zeigen Sie: Die Relation R mit

(a,b) R (c,d) a d = b c
ist eine Äquivalenzrelation

meine Lösung:

Es stehen zwei Elemente (q,r) und (x,y) in Relation, d.h.:

q*y = r*x

bei folgenden Aufgaben habe ich im Moment keine Ideen:

2. Definiere eine Addition :
   (a,b)+(c,d) :=(ad + cb, bd)
   Zeigen Sie: Diese Addition definiert auch eine Addition auf den Äquivalenzklassen, d.h

(a1, b1) R (a2,b2) und (c1,d1) R (c2,d2) ==>(a1,b1)+(c1,d1) R (a2,b2)+(c2,d2)

3. Definiere eine Multiplikation:
   (a,b)*(c,d) :=(a*c, b*d)
   Zeigen Sie: Diese Addition definiert auch eine Addition auf den Äquivalenzklassen, d.h

(a1, b1) R (a2,b2) und (c1,d1) R (c2,d2) ==>(a1,b1)*(c1,d1) R (a2,b2)*(c2,d2)

4. Was haben wir mit diesen Aquivalenzklassen eigentlich definiert?

bei 2 und 3 ist doch da alles gezeigt schon? was und wie soll ich denn zeigen? (hab erst 2 wochen algebra)

[Christian_von_T_rne_a0c18a]

Hallo Leo,

also, gerade mit Algebra losgelegt und schon geht’s nicht weiter? Das
kann ja wohl nicht sein! Die Aufgaben sind durch Abhaken der
einzelnen Punkte der Definition der Äquivalenzrelationen zu lösen.
Und das macht dir hier bestimmt keiner vor.

Chris

[michael_f7f5bc]

hi,

1. Zeigen Sie: Die Relation R mit
   (a,b) R (c,d) a d = b c
   ist eine Äquivalenzrelation
   meine Lösung:

Es stehen zwei Elemente (q,r) und (x,y) in Relation, d.h.:
q*y = r*x

das ist noch keine lösung.
du musst die eigenschaften für die äquivalenzrelation zeigen. als da sind: reflexiv, symmetrisch, transitiv.

also: ist (a,b)R(a,b) ?
folgt aus (a,b)R(c,d) auch (c,d)R(a,b) ?
folgt aus (a,b)R(c,d) und (c,d)R(e,f), dass (a,b)R(e,f) ist?

bei folgenden Aufgaben habe ich im Moment keine Ideen:
2) Definiere eine Addition :
(a,b)+(c,d) :=(ad + cb, bd)
Zeigen Sie: Diese Addition definiert auch eine Addition auf
den Äquivalenzklassen, d.h

(a1, b1) R (a2,b2) und (c1,d1) R (c2,d2) ==>(a1,b1)+(c1,d1)
R (a2,b2)+(c2,d2)

rechne zunächst aus:
(a1,b1)+(c1,d1) = (a1d1 + b1c1, b1d1)
(a2,b2)+(c2,d2) = (a2d2 + b2c2, b2d2)

du musst dann überprüfen, ob unter der voraussetzung a1b2 = b1a2 und
c1d2 = d1c2 auch (a1d1+b1c1)b2d2 = …

3. Definiere eine Multiplikation:
   (a,b)*(c,d) :=(a*c, b*d)
   Zeigen Sie: Diese Addition definiert auch eine Addition auf
   den Äquivalenzklassen, d.h

sollte hier wohl „Operation“ und „Multiplikation“ statt „Addition“ heißen.

(a1, b1) R (a2,b2) und (c1,d1) R (c2,d2) ==>(a1,b1)*(c1,d1)
R (a2,b2)*(c2,d2)

s.o.

4. Was haben wir mit diesen Aquivalenzklassen eigentlich
   definiert?

denk nach: wo erfolgt in dieser art eine addition, eine multiplikation? du hast das schon 1000 mal in deinem leben so durchgeführt.

bei 2 und 3 ist doch da alles gezeigt schon? was und wie soll
ich denn zeigen? (hab erst 2 wochen algebra)

es ist nur hingeschrieben, was du zeigen sollst. du musst dich dransetzen und konkret berechnen, ob das für diese äquivalenzrelation und diese rechenvorschriften auch tatsächlich zutrifft.

hth
m.