Hallo,
wie sieht das äußere Produkt zweier antisymmetrischen Tensoren in der Komponentendarstellung aus?
Seien um Beispiel w,v zwei 2-Formen auf einem n-dim Vektorraum.
Und w hat die Darstellung:
w=summe[r_ij*ei^ej]
zur Notation:
i,j Indizes, wobei jeder Index die Werte 1,2…,n annehmen kann
r_ij: eine mit den zwei Indizes indizierte reelle Zahl
e1,e2,…,en: Basisvektoren des Vektorraums
^: Dachprodukt
Für die Summe gilt die Indexeinschränkung: 1
Hallo Oliver,
meinst Du nicht einfach das Grassmann-Produkt ?
Dann wäre das Produkt r_ij s_kl in allen vier Indizes komplett antizusymmetrisieren…
Für die Summe gilt die Indexeinschränkung: 1
Pullback
Hallo Stefan,
meinst Du nicht einfach das Grassmann-Produkt ?
weiß nicht, bei uns im Skript heißt das einfach „äußeres Produkt“.
Für die Summe gilt die Indexeinschränkung: 1
Hallo Oliver,
Was wichtiger wäre: weißt du was ein „Pullback“ ist??
nee, nur daß man auf einer Mannigfaltigkeit von einem Punkt x zu einem anderen
Punkt y rutscht und irgendwelche Formen dabei verändert - also sehr vage 
Aber ich glaube, ich kann Dir einen guten Literatur-Tip geben anhand Deiner
diversen Fragen: Probier doch mal das Teubner-Taschenbuch der Mathematik,
(insb. Teil II !!) (Hrsg. G. Grosche) - das sieht zwar aus wie der Nachfolger vom Bronstein, aber geht weit darüber hinaus. Es behandelt vor allem das, was in der modernen TheoPhysik getan wird. Im Bronstein steht manches einfach nicht drin, z.B. Nabla in Kugelkoordinaten - erst recht nix über Lie-Gruppen und
Mannigfaltigkeiten.
Ich habe die ca. 100 DM für beide Bände nie bereut, im Gegensatz zu manchen 40-Mark-Werken…
Beste Grüße
Stefan
Hallo,
auch wenn ich nicht den geringsten Schimmer von Tensoralgebra habe, wie wurden Pullbacks bei Euch eingeführt ? Der Begriff stammt aus der Kategorientheorie. Dort besteht der Pullback (U, g’: U -> X, f’: U -> Y) zweier Funktoren,Morphismen f: X -> Z und g: Y -> Z aus einem universellen Objekt U und zwei Morphismen g’,f’ mit den Eigenschaften:
o fg’=gf’
o zu jedem (V,k: V -> X ,l: U -> Y) mit fk=gl gibt es einen eindeutigen Morphismus i: V -> U mit k=g’i und l=f’i
Für Mengen erhält man gerade U={(x,y)&isin (X,Y) | fx=gy} und f’,g’ die entsprechenden Projektionsabbildungen. Grob könnte man hier sagen, daß U den „Schnitt“ und f und g beschreibt (bei abstrakten Datentypen und Signaturmorphismen ist der Pullback modulo tech. Details die Menge der gemeinsamen Ops von X und Y in Z).
Gruss
Enno
Hallo Enno,
da die Kategorientheorie ja so ein Universalhammer der Mathematik ist, kann ich mir gut vorstellen, den pull-back, der auf Mannigfaltigkeiten definiert ist, als Spezialfall des kategorientheoretischen pull-backs ansehen zu können.
Aber prinzipiell kann das gleiche Wort in verschiedenen Disziplinen der Mathematik verschiedenes bedeuten
Beste Grüße
Stefan
Hallo,
Der Pullback auf den Mannigfaltigkeiten ist sicher eine Spezialisierung - damit allerdings nicht unbedingt leichter zu verstehen. Man müßte aus der pur kategorientheoretischen Definition herleiten können, daß es solche Objekte gibt und welche Gestalt sie haben (allerdings kann ich den Aufwand für diesen Beweis nicht abschätzen).
Aber prinzipiell kann das gleiche Wort in verschiedenen
Disziplinen der Mathematik verschiedenes bedeuten
Wäre denkbar aber das gilt ja als „pfui“ (die Informatiker sind da lockerer *g*).
Gruss
Enno
Noch ein Tip
… frag’ mal bei matheplanet.com. Die haben ein extra Physik-Forum und es schwirren genügend Mathematiker & Physiker dort herum, daß es mich fast wundern würde, wenn man dort keine Antwort auf Deine Frage bekommt.
Gruss
Enno
Hallo,
auch wenn ich nicht den geringsten Schimmer von
Tensoralgebra
habe, wie wurden Pullbacks bei Euch eingeführt ?
So, wie hier auf der Seite 7, Definition 4.1.20
www.math.uni-hamburg.de/home/lauterbach/scripts/mech…
Ich glaube mit dem Pullback f* einer Abbildung f zwischen
zwei Mannigfaltigkeiten f:M->N kann man eine k-Form, die auf
N defniert ist auf die Mannigfaltigkeit M „zurückziehen“.
Der Begriff
stammt aus der Kategorientheorie. Dort besteht der Pullback
(U, g’: U -> X, f’: U -> Y) zweier Funktoren,Morphismen
f: X -> Z und g: Y -> Z aus einem universellen Objekt U
und zwei Morphismen g’,f’ mit den Eigenschaften:o fg’=gf’
o zu jedem (V,k: V -> X ,l: U -> Y) mit fk=gl gibt es
einen eindeutigen Morphismus i: V -> U mit k=g’i und l=f’i
Ähm… tut mir leid, da bin ich jetzt nicht mitgekommen
Gruß
Oliver
Link klickbar gemacht
Hallo Stefan
Was wichtiger wäre: weißt du was ein „Pullback“ ist??
nee, nur daß man auf einer Mannigfaltigkeit von einem Punkt
x
zu einem anderen
Punkt y rutscht und irgendwelche Formen dabei verändert -
also
sehr vage
Ja, inzwischen glaub ich auch, dass es sowas in der Art ist:
man „zieht“ die Form von einer Mannigfaltigkeit auf eine
andere „zurück“… „Pull-Back“ eben 
Aber ich glaube, ich kann Dir einen guten Literatur-Tip
geben
anhand Deiner
diversen Fragen: Probier doch mal das Teubner-Taschenbuch
der
Mathematik,
(insb. Teil II !!) (Hrsg. G. Grosche)
Ja, danke, das probier ich mal aus.
Gruß
Oliver