Zweige des Logarithmus im komplexen
Hallo
Aiiiii! Comme Bernouiööi et Ferma et Galois criraient!
Wäre schön, wenn jemand die Lösung für diesen komplexen
Widerspruch wüßte, auf den ich bei meinen Vorarbeiten zur
Ablegung des Magistergrades gestoßen bin. (im Anschluß an
meine 1hochalles = ? Frage hierselbst:
1^x = 1 für alle x Æ |R
(aber 1^i = (e^[2*pi*i])^i = e^[-2*pi] = ~ 0,00187!!!
und glz:
1^i = e^(i*ln[1]) = e^0 = 1 !!!
Also 1 = 0,00187?
Was mache ich für einen Fehler?
Im komplexen ist der Logarithmus nicht eindeutig, das kommt daher dass die Darstellung einer komplexen Zahl als
z=r*exp(i*phi)
nicht eindeutig ist. Genauso gut könnte man schreiben:
z=r*exp(i*phi + n*2pi*i), n aus N
Man definiert als ein Zweig des Logarithmus der obigen komplexen Zahl z:
F(z)=ln®+ i*phi + i*2pi*n
(mit n beliebig aber fest. Im Falle n=0 heißt das glaub ich Hauptzweig)
Die Potenz einer komplexen Zahl definiert man dann analog zu den reellen Zahlen:
z^w=exp(F(z)*w)
In deinem Beispiel wäre das
z=1
F(z)=ln(1) + i*0 +i*2pi*n= i*2pi*n
w=i
also:
1^i=exp(F(1)*i)=exp(i*2pi*n*i)=exp(-2pi*n)
Und je nach dem für welchen Zweig des Logarithmus, d.h. welches n, ich mich entscheide, bekomme ich andere Ergebnisse:
für n=0 :1^i=1
für n=1: 1^i=~ 0,00187
…
Man muss halt nur am Anfang das n festlegen.
Alles klar?
Gruß
Oliver