Liebe/-r Experte/-in,
wir haben in unserem Algebra Tutorium ein Übungsblatt durchgerechnet, dass keiner von meinen Mitstudenten (inklusive mir) so hinbekommen hat (heißt keiner hatte die Musterlösung heraus). Unser Tutor meinte aber das das ganz einfach wäre, und man das innerhalb von 1 Stunde herausbekommt, was wir ihm dann nicht geglaubt haben. Wir waren der Ansicht, dass es niemand gibt, der das einfach so löst. Also haben wir gedacht, wir fragen mal die vermeintlichen Experten bei werweißwas. Ich bin mal gespannt, ob es einer innerhalb kürzester Zeit schafft, das Blatt richtig zu lösen. Musterlösung schicke ich bei Bedarf dann zu.
Aufgabe 1
Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g ;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, das die Menge
K:= {a + b wurzel5 ; a,b € Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und das K eine echte Teilmenge von R ist.
Aufgabe 3
Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
a) Die Charakteristik von K ist entweder 0 oder eine Primzahl.
b) Ist die Charakteristik von K eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomorphismus von Zp nach K.
Aufgabe 4
Die meisten Bücher sind heutzutage mit einer zehnstelligen Zahl, der ISBN-Nummer, gekennzeichnet,
z1 - z2z3z4 - z5z6z7z8z9 - z10
Die erste Ziffer kennzeichnet das Land, die nächsten drei Ziffern den Verlag, die nächsten fünf ZIffern das Buch, und die letzte Ziffer z10 ist eine Prüfziffer, für die auch die römische Zahl X stehen kann. SIe dient den Buchhändlern bei Bestellungen von Büchern zur Kontrolle dafür, dass die ersten 9 Ziffern korrekt eingegeben sind. Berechnet wird die Prüfziffer durch:
z10 konvergent(also ein = plus dritten Strich) (1z1 + 2z2 + 3z3 + … + 9z9) mod 11
a) Bei der Eingabe der ISBN-Nummer werden häufig Fehler gemacht:
i) Genau eine der ersten neun Ziffern wird falsch eingegeben.
ii) Zwei der ersten neun ZIffern werden vertauscht.
Zeigen Sie, dass Fehler i) und ebenso Fehler ii) anhand der Prüfziffer entdeckt werden kann.
b) Sie wollen ein Buch bestellen mit der ISBN-Nummer 3-827-422?5-X. Eine Ziffer (?) können Sie nicht erkennen. Errechnen Sie diese Ziffer. Um welches Buch handelt es sich dabei?