Liebe/-r Experte/-in,
bin gerade dabei auf eine Klausur zu üben und schaue daher alle Übungsblätter noch einmal an, was mir sinnvoll erscheint. Leider habe ich zu diesem Übungsblatt keine Lösung. Es wäre echt super, wenn mir das jemand, für den das kein Problem ist, mal vorrechnen könnte…
Aufgabe 1
Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g ;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.
Aufgabe 2
Zeigen Sie, das die Menge
K:= {a + b wurzel5 ; a,b € Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und das K eine echte Teilmenge von R ist.
Aufgabe 3
Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
a) Die Charakteristik von K ist entweder 0 oder eine Primzahl.
b) Ist die Charakteristik von K eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomorphismus von Zp nach K.
Aufgabe 4
Die meisten Bücher sind heutzutage mit einer zehnstelligen Zahl, der ISBN-Nummer, gekennzeichnet,
z1 - z2z3z4 - z5z6z7z8z9 - z10
Die erste Ziffer kennzeichnet das Land, die nächsten drei Ziffern den Verlag, die nächsten fünf ZIffern das Buch, und die letzte Ziffer z10 ist eine Prüfziffer, für die auch die römische Zahl X stehen kann. SIe dient den Buchhändlern bei Bestellungen von Büchern zur Kontrolle dafür, dass die ersten 9 Ziffern korrekt eingegeben sind. Berechnet wird die Prüfziffer durch:
z10 kongruent(also ein = plus dritten Strich) (1z1 + 2z2 + 3z3 + … + 9z9) mod 11
a) Bei der Eingabe der ISBN-Nummer werden häufig Fehler gemacht:
i) Genau eine der ersten neun Ziffern wird falsch eingegeben.
ii) Zwei der ersten neun ZIffern werden vertauscht.
Zeigen Sie, dass Fehler i) und ebenso Fehler ii) anhand der Prüfziffer entdeckt werden kann.
b) Sie wollen ein Buch bestellen mit der ISBN-Nummer 3-827-422?5-X. Eine Ziffer (?) können Sie nicht erkennen. Errechnen Sie diese Ziffer. Um welches Buch handelt es sich dabei?
Viele grüße, Tom