Algebra

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
bin gerade dabei auf eine Klausur zu üben und schaue daher alle Übungsblätter noch einmal an, was mir sinnvoll erscheint. Leider habe ich zu diesem Übungsblatt keine Lösung. Es wäre echt super, wenn mir das jemand, für den das kein Problem ist, mal vorrechnen könnte.

Aufgabe 1

Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g ;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.

Aufgabe .2

Zeigen Sie, das die Menge
K:= {a + b wurzel5 ; a,b € Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und das K eine echte Teilmenge von R ist.

Aufgabe 3

Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

a) Die Charakteristik von K ist entweder 0 oder eine Primzahl.

b) Ist die Charakteristik von K eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomorphismus von Zp nach K.

#2

Zeitproblem
Hey larryhunter,

ich kann das schon rechnen, aber ich brauche etwas Zeit dafür und in den nächsten Tagen sieht’s da eher schlecht aus. Wann ist denn die Klausur?

#3

Hallo larryhunter,

der Sinn von Übungsblättern ist, dass die Studenten selber üben und nicht einfach die Musterlösung anschauen. Daher mein Vorschlag: Versuchen Sie erst selbst die Aufgaben zu lösen und wenn Sie an einem Punkt nicht weiterkommen, selbst wenn Sie sich die Beispiele im Skript oder in einem Buch angeschaut haben, hier konkrete Fragen zu stellen.

Viel Erfolg,
Martin Hulin

#4

Tut mir leid, da kann ich Dir so ad hoc auch nicht helfen.
Viele Grüße und viel Erfolg
M

#5

sorry,
zahlentheorie ist schon bei mir fast zwanzig jahre her und verstaubt. zudem konnte ich es auch damals nicht so easy im studium aus dem ärmel schütteln.
hier muss ich passen.
gruß ulf

#6

Hallo!

Tut mir leid, aber ich war leider verereist und komme erst jetzt dazu, meine E-Mails abzuarbeiten.

Ich fürchte aber ich kann hier sowieso nicht viel weiterhelfen. Mir sind die Aussagen zwar logisch, aber mein Mathematikstudium ist schon eine Weile her, einen exakten Beweis bekomme ich nicht (mehr) hin. Ich hoffe hier kann ein anderer Experte besser helfen.

Zu 1.
Eine Partition ist in diesem Zusammenhang wohl eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen (oder?).
IHI und IGI sind vermutlich die Mächtigkeiten (also die Anzahl der Elemente) von H bzw. G (oder?).
Damit gelten sicher die Annahmen a) bis d), jedenfalls erscheinen sie mir logisch (aber ich kann es wie gesagt nicht beweisen).

Zu 2.
Das ist relativ einfach. Es ist zu zeigen, daß K bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division angeschlossen ist (d. h. daß diese Operationen „nicht aus K hinausführen“) und daß K eine echte Teilmenge von R ist, also daß K nichtleer und K ungleich R.

Addition:
(a1 + b1 wurzel5) + (a2 + b2 wurzel5) = (a1 + a2) + (b1 + b2) wurzel5
wobei (a1 + a2) in Q und (b1 + b2) in Q

Subtraktion:
(a1 + b1 wurzel5) - (a2 + b2 wurzel5) = (a1 - a2) + (b1 - b2) wurzel5
wobei (a1 - a2) in Q und (b1 - b2) in Q

Multiplikation:
(a1 + b1 wurzel5) * (a2 + b2 wurzel5) = (a1 * a2) + (a1 * b2) wurzel5 + (a2 * b1) wurzel5 + (b1 * b2 * wurzel5 * wurzel5)
= ((a1 * a2) + (5 * b1 * b2)) + ((a1 * b2) + (a2 * b1)) wurzel5
wobei ((a1 * a2) + (5 * b1 * b2)) in Q und ((a1 * b2) + (a2 * b1)) in Q

Division (…nun wird es etwas komplizierter):
(a1 + b1 wurzel5) / (a2 + b2 wurzel5) = ((a1 + b1 wurzel5) * (a2 - b2 wurzel5)) / ((a2 + b2 wurzel5) * (a2 - b2 wurzel5))
= ((a1 * a2) - (5 * b1 * b2) + ((a2 * b1) - (a1 * b2)) wurzel5) / ((a2 * a2) - (5 * b2 * b2))
= ((a1 * a2) - (5 * b1 * b2)) / ((a2 * a2) - (5 * b2 * b2)) + (((a2 * b1) - (a1 * b2)) / ((a2 * a2) - (5 * b2 * b2))) wurzel5
wobei ((a1 * a2) - (5 * b1 * b2)) / ((a2 * a2) - (5 * b2 * b2)) in Q und (((a2 * b1) - (a1 * b2)) / ((a2 * a2) - (5 * b2 * b2))) in Q

K ist nichtleer, da z. B. 1 = 1 + 0 wurzel5 in K
K ist ungleich R, da z. B. wurzel2 nicht in K

Zu 3.
Die Charakteristik eines Körpers… Ja, die ist immer 0 oder eine Primzahl (daran kann ich mich noch erinnern, aber beweisen kann ich es auch nicht).

Grüße
Stefan

#7

Einfach zu viel
Hallo larryhunter,

ich habe mir die Aufgaben jetzt mal etwas genauer angeschaut. Sie sind zwar kein Problem, aber wenn ich die drei Beweise machen soll — hmmm… es kann schon sein, dass ich für die Beweise bis die sauber dastehen schon so drei Stunden brauche. Tut mir leid, das ist mir gerade einfach zu viel Zeit.

Ein Tipp von mir (vielleicht nützt dir das was?):
Ein (meiner Meinung nach) gutes Buch über Algebra ist:
„Algebra“ von Thomas W. Hungerford „Graduate Texts in Mathematics“ vom Springer-Verlag.

#8

Konnte noch nicht antworten weil Computer lauter Ärger macht. Hinweis zu 2: Was sind die Körperaxiome? Einzeln nachrechnen, dass es klappt. K echte Teilmenge: Es gibt Element von R\K. 3a): wäre sonst nicht nullteilerfrei. 3b) f(z)=z*Einselement des Körpers (Beweisen!).
Hoffe das hilft zumindest etwas.

#9

Hi,

sorry. Ist die Anfrage noch aktuell?