Algebra

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
wir haben in unserem Algebra Tutorium ein Übungsblatt durchgerechnet, dass keiner von meinen Mitstudenten (inklusive mir) so hinbekommen hat (heißt keiner hatte die Musterlösung heraus). Unser Tutor meinte aber das das ganz einfach wäre, und man das innerhalb von 1 Stunde herausbekommt, was wir ihm dann nicht geglaubt haben. Wir waren der Ansicht, dass es niemand gibt, der das einfach so löst. Also haben wir gedacht, wir fragen mal die vermeintlichen Experten bei werweißwas. Ich bin mal gespannt, ob es einer innerhalb kürzester Zeit schafft, das Blatt richtig zu lösen. Musterlösung schicke ich bei Bedarf dann zu…

Aufgabe 1

Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g ;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, das die Menge
K:= {a + b wurzel5 ; a,b € Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und das K eine echte Teilmenge von R ist.

Aufgabe 3

Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

a) Die Charakteristik von K ist entweder 0 oder eine Primzahl.

b) Ist die Charakteristik von K eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomorphismus von Zp nach K.

Aufgabe 4

Die meisten Bücher sind heutzutage mit einer zehnstelligen Zahl, der ISBN-Nummer, gekennzeichnet,

z1 - z2z3z4 - z5z6z7z8z9 - z10

Die erste Ziffer kennzeichnet das Land, die nächsten drei Ziffern den Verlag, die nächsten fünf ZIffern das Buch, und die letzte Ziffer z10 ist eine Prüfziffer, für die auch die römische Zahl X stehen kann. SIe dient den Buchhändlern bei Bestellungen von Büchern zur Kontrolle dafür, dass die ersten 9 Ziffern korrekt eingegeben sind. Berechnet wird die Prüfziffer durch:

z10 konvergent(also ein = plus dritten Strich) (1z1 + 2z2 + 3z3 + … + 9z9) mod 11

a) Bei der Eingabe der ISBN-Nummer werden häufig Fehler gemacht:

i) Genau eine der ersten neun Ziffern wird falsch eingegeben.

ii) Zwei der ersten neun ZIffern werden vertauscht.

Zeigen Sie, dass Fehler i) und ebenso Fehler ii) anhand der Prüfziffer entdeckt werden kann.

b) Sie wollen ein Buch bestellen mit der ISBN-Nummer 3-827-422?5-X. Eine Ziffer (?) können Sie nicht erkennen. Errechnen Sie diese Ziffer. Um welches Buch handelt es sich dabei?

#2

Ich habe mein Diplom 1969 gemacht und danach 35 Jahre an der Schule unterrichtet. Der Uni-Stoff ist weit weg.

Die Grundlagen um Aufgabe 1)2)3) zu lösen, habe ich nicht mehr.

Zu Aufgabe 4a) fällt mir nix ein.

Aufgabe 4)b) ist eine für unerschrockene Rechner. Mit Excel ergibt sich in 3 Minuten, dass die fehlende Ziffer 8 ist und ads gesuchte Buch (Google sei Dank):
Martin Wohlgemuth
Mathematisch für Anfänger

Sorry

#3

Also die erste Aufgabe ist tatsächlich schnell gemacht.
a) Das folgt aus der Tatsache dass die Nebenklassen der Untergruppe H Äquivalenzklassen sind (nachprüfen!) und die Gruppe eine Disjunkte Vereinigung von Äquivalenzklassen ist.

b) Das Teilt aus dem Satz von Lagrange, der mit der Abzählformel für Nebenklassen bewiesen werden kann.

c) Folgt ebenfalls aus dem Satz von Lagrange (Die Ordnung eines Elementes teilt die Gruppenordnung)

d) folgt ebenfalls aus dem Satz von Lagrange (Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Gruppenordnung)

Aufgabe 2
Einfach überprüfen, dass die Menge abgeschlossen ist gegenüber Addition und Multiplikation, und dass das Inverse der beiden Operation dafür auch jeweils existiert. Dabei hilft dass sqrt(5) = 5/sqrt(5)

Aufgabe 4:
Das Zeichen heißt übrigens Kongruent und nicht Konvergent. Einfach mal ausprobieren was passiert wenn die beiden Fehler eingebaut werden, ob dann die Bedingung noch passt, das tut sie nämlich nicht.
Die Fehlende Ziffer sollte 8 sein, das buch dementsprechend „Mathematisch für Anfänger“

Aufgabe 3:
Einfach mal annehmen, dass die Behauptung falsch ist, dann solltest du ziemlich leicht auf nen Widerspruch kommen.

#4

Leider bin ich im Moment nicht in der Lage (Krankheiten), zu antworten. „Gruppen“.
Bestimmmt findet sich ein anderer Helfer.
Gruß
karl

#5

Eigentlich soll wer-weiß-was ja nicht als „Wer macht meine Hausaufgaben?“-Forum benutzt werden, aber in diesem Fall ist es okay - ich sach mal, wenn ihr drei Experten angeschrieben habt und jeder eine Aufgabe macht, ist der Aufwand für uns ziemlich gering.
Ich mach die dritte! Das ist die einzige, die ich halbwegs interessant finde und die nicht sowieso in jedem Algebrabuch steht.:smile:

a) i) Angenommen, statt der Zahl zn wurde die Zahl zn’ eingegeben, also zn ungleich zn’, angenommen weiterhin, die Kontrollziffer wäre aber modulo 11 trotzdem die gleiche wie bei richtiger Eingabe. Dann gilt:
(Die Summe aller izi)kongruent zu (Summe aller izi, wobei nzn durch nzn’ ersetzt wurde) mod 11.
Nach Subtraktion aller izi mit i ungleich n ergibt sich:
nzn kongruent zu nzn’ mod 11.
Da aber 11 prim ist, ist die Restklassengruppe mod 11 ein Körper, also hat n mod. 11 ein eindeutig bestimmtes Inverses, also gilt zn=zn’ im Widerspruch zur Voraussetzung, dass die Zahl zn falsch eingegeben wurde.
ii) Angenommen, die beiden Ziffern zm und zn (mit n ungleich m) wurden vertauscht, angenommen weiterhin, die Kontrollziffer wäre modulo 11 dieselbe wie bei richtiger Eingabe. Dann gilt (nach Subtraktion der 7 gleich gebliebenen Summanden):
nzn+mzm kongruent zu nzm + mzn mod 11
Sortieren und ausklammern:
n(zn-zm) kongruent zu m(zn-zm) mod 11
Daraus folgt mit der gleichen Argumentation wie in i) (Eindeutigkeit des inversen Elements von zn-zm):
n=m im Widerspruch zur Annahme.
b) 3+16+6+28+20+12+14+8mal?+45 kongruent zu 10 mod 11.
Rechnen: 144+8mal? kongruent zu 10 mod 11.
144 rüber: 8mal? kongruent zu 9 mod 11.
Also ? =8 (alle von 1 an durchprobieren, 8 passt, weil 64=55+9)
Das Buch dürft ihr selber bei Amazon nachschlagen. Ich wette 10:1, dass es ein Mathebuch ist. Wie lustig! „Der Zauberberg“ - das wäre originell gewesen!!!

Übrigens heißt es kongruent. Konvergent ist was anderes. „Kompetent zu… mod 11“ wär auch nicht schlecht. Oder inkontinent.
Was isn das eigentlich für ne läppische Uni, wo man Übungszettel kriegt, die in einer Stunde zu lösen sind? Ich habe in Göttingen studiert, und da kam man unter 10 Stunden pro Zettel nicht weg. Aber das ist schon über 10 Jahre her, die Zeiten ändern sich, vielleicht ist es mittlerweile in Gö auch nicht mehr so.
Okay, dann hoffe ich mal, dass sich für die anderen Aufgaben auch noch zwei Experten finden, sonst müsst ihr es womöglich doch noch selbst machen, chchchchch…

LG aus Münster von der Mathelehrerinnenfraktion!

#6

Uuups, ich meinte natürlich 4 Experten und die 4. Aufgabe!
There are three kinds of mathematicians - those who can count and those who can’t.

#7

Hallo larryhunter,

erstmal: Hat denn die andere Antwort bzgl. der Grenzwerte geholfen?

Nun zur Algebra:
Es ist kein Problem, wenn man nicht die Musterlösung findet. Das ist doch das tolle an der Mathematik. Jeder mögliche Weg eine Aussage zu beweisen, beweist diese und die Aussage ist dann wahr. Völlig egal, wie der Beweis nun funktioniert. Das einzig interessante an Musterlösungen könnte sein, dass sie elegant formuliert sind oder vielleicht die Aussage mit wenigen Einzelfolgerungen beweisen…

Wie dem auch sei, als „vermeintlicher Experte“ sage ich mal noch was zu den Aufgaben:

Aufgabe 1

Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e
und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g
;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn
{e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.

(a) Es soll also gezeigt werden, dass verschiedene Nebenklassen einer Untergruppe H disjunkt sind, aber dennoch jedes Element von G in irgendeiner Nebenklasse zu finden ist.

  1. Disjunktheit: Angenommen zwei Nebenklassen g_1H und g_2H hätten ein Element gemeinsam, also g_1h_1=g_2h_2 mit h_1 aus g_1H und h_2 aus g_2H. Dann ist g_1H=g_1(h_1H)=(g_1h_1)H=(g_2h_2)H=g_2(h_2H)=g_2H, beide Nebenklassen sind dann sogar schon identisch. Fertig.
  2. Ein beliebiges Element g aus G ist in der Nebenklasse gH enthalten.
    Damit ist (a) bewiesen.

(b) Diese Aussage ist der Satz von Lagrange. Wie in (a) bewiesen, ist G die disjunkte Vereinigung von Nebenklassen von H. Nun müssen wir beweisen, dass alle Nebenklassen dieselbe Mächtigkeit besitzen. Die Abbildung H->gH:h->gh mit h aus H und g aus G ist bijektiv, denn gh_1=gh_2 => h_1=h_2 (injektivität) und für h’ aus gH ist g^(-1)h’ aus H (surjektivität). Also sind alle Nebenklassen gleichmächtig (g war beliebig) und deshalb ist die Mächtigkeit von G ein Vielfaches der Mächtigkeit von H.

© Definiere die Menge :={g^0,g^1,g^2,g^3,…}. Diese Menge ist offensichtlich Untergruppe von G, deren Mächtigkeit teilt also |G|. Es wird ord(g):=|| die Ordnung von g genannt. Die Folge g^0=e,g^1,g^2,g^3,… muss irgendwann wieder das neutrale Element enthalten. Wenn nicht, dann sei n>ord(g) diejenige natürliche Zahl, für die g^n=g^m mit m eine echte, nicht-triviale Untergruppe von G. Widerspruch.

Das waren knapp 20min. Eine Stunde ist vielleicht etwas knapp bemessen, aber durchaus möglich. Dass man dafür länger braucht, wenn man das noch nie gemacht hat, ist doch klar, oder? Die anderen Aufgaben dürfen andere „Experten“ lösen :smile:
Würde mich dennoch für die Musterlösungen interessieren.

Schöne Grüße
Christian

#8

sorry, war auf achse … schätze mal, es ist nit mehr aktuell :wink:

cheers,
abakus