Algebra Aufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben:

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe wird.
b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung
3°x°x=15

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus von G.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}
ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Bei der 1. habe ich wirklich gar keinen Plan, da ich so eine Gleichung noch nie zuvor gesehen habe und ich nicht weiß, wie man so was löst.
Bei 2.) habe ich wenigstens die kleine Ahnung, dass ich bei a) um Automorphismus zu beweisen, zuerst den Homomorphismus und den Isomorphismus beweisen muss, aber wie ich so einen Beweis mache und hinbekommen, weiß ich nicht. Bei b) und c) sieht es ähnlich aus.

#2

1a) das muß nur sauber durchgerechnet werden, z.b. assoziativität:

(x°y)°z =(xy+x+y)°z =(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z
=xyz+xz+yz+xy+x+y+z ==xyz+xy+xz+x+yz+y+z
=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z) =x°(yz+y+z) =x°(y°z)

(das rechnet man auf einem schmierzettel von vorne und von hinten jeweils bis zum doppelten = und schreibt das für die abgabe dann wie oben auf.)
für die übrigen gesetze geht das analog.

1b) lösen der gleichung 4x^2+8x+3 in R (warum?)

2a) 1. nachrechnen von f(x°y)=f(y)°f(y) (analog zu aufgabe 1)
2. nachweis der surjektivität, d.h. finde zu jedem y ein x mit f(x)=y (reicht, da G endlich)

2b+c) das läuft alles nach dem gleichen schema

#3

Liebe/-r Experte/-in,
Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben:

Hallo,
leider kann ich zu diesen Aufgaben keine Hilfe anbieten.

Gruß
Horst

#4

Hey Larry; deine Frage ist hoch spannend. Ich fürchte nur, ich unterliege hier stärksten Platzbeschränkungen. Einen teil davom kann ich allerdings sofort durch bringen. Deshalb folgende dienstanweisung an dich: Du meldest dich ( möglichst unter Larry Hunter ) bei der Konkurrenz Cosmiq bzw. Lycos 'Experten beantworten deine Fragen ’ an; das ist voll interaktiv; und dort firmiere ich als User ’ alfonsdreizehn ’ Du stellst deine frage(n) ins Netz und schickst mir ( alfonsdreizehn ) eine Nachricht, die die Weblinks auf alle deine Fragen in Cosmiq enthalten muss. Ich bin berüchtigt für meine Ergüsse mit 99 Komma 15 Ergänzungen; bei mir bist du in den besten Händen. Schreib mich nochmal an, falls dir diese Prozedur unklar sein sollte.

#5

Hier. 2c) ist eine absolte TRIVIALITÄT und hat mit dem übrigen Krimskrams aber auch Null z tun.
Weißt du, was das bedeutet; zwei Zahlen sind kongruent modulo 3?
Wenn du ( rein zufällig ) nicht wissen solltest, was das ist: Kongruenz mod einer Untergruppe H. Dann allerdings weißt du wirklich nix. Ich wiederhol das mal so ganz kursorisch, damit du checkst, wie viel bei dir vorhanden ist und wo du noch Nachholbedarf hast.
Zwei Elemente x , y € G heißen rechts kongruent mod H :

(E) a € H | y = a x ( 1 )

( entsprechend definierst du Linkskongruenz. Diese Kongruenz ist eine Gleichheitsbeziehung ( GB ) ( reflexiv, symmetrisch, transitiv )

Reflexiv folgt aus der Existenz des Neutralen
symmetrisch folgt aus der Existenz des Inversen
Transitiv folgt aus Abgeschlossenheit

Jede GB induziert auf ihrer Menge eine Partition in Gleichheitsklassen. Die Klasse von x nenne ich [x] Dabei erkennt man sofort, dass H selbst eine Klasse für sich bildet; die Klasse des Neutralen. Typisch für die Gruppenverknüpfung ist ja die Eindeutigkeit von Unbekannten:

a x = a y | a ^ -1 * ( 2a )

x = y ( 2b )

( Multi von Links notiere ich mit ’ Stern rechts ’ und umgekehrt. ) Aus ( 2ab ) folgt aber

card [x] = ° H ( 3a )

und somit

° H | ° G ( 3b )

Die Aussage ( 3b ) und ihr Beweis sollten dir bekannt vor kommen; eie ganz ein schneidende Konsequenz: Alle Gruppen von Primzahlordnung sind ====> zyklisch ( und damit einfach ) ( Und zu jeder Primzahl p gibt es nur diese eine Gruppe. )
Diese ganze Umstandskrämerei mit den Normalteilern rührt nun daher, dass die Gruppenverknüpfung i.A. nicht kommutativ ist; Linkskongruenz ist etwas anderes als Rechtskongruenz. Das System der Linksklassen ignoriert bzw. überschneidet sich mit den Rechtsklassen. Eine Untergruppe, bei der beide Klassensysteme identisch sind, wollen wir normal nennen.
Und jetzt denk mal scharf mit; kennst du diesen blöden Witz ( Ich kenne ihn aus einem Schülerroman von Heinrich Spoerl; da fragt ein Schüler in einer Kneipe einen Penner )

" Kennen Sie den Unterschied zwischen Drinnen und Draußen? "

Also ein ’ äußeres ’ Element x ( a ) ; a wie außen, das jetzt nicht zu H gehört. Das induziert jetzt ebenfalls eine Klasse aus k Elementen. Aber lt. Vor. bilden diese k + k Elemente schon ganz G. Es gibt also ( immer ) die innere Klasse = H und hier die äußere; zwei Elemente sind schon dann kongruent, wenn sie NICHT in H liegen - durchaus alles andere als selbst verständlich.
Kleine philosophische Frage; was hat der Unterschied zwischen Innen und Außen mit dem zwischen Links und Rechts zu tun? Die Außenklasse ist die Außenklasse unabhängig, ob du H von Links multi; a H. Oder von Rechts; H a. Damit ist aber H normal; claro?

#6

Wenn du 2b ) nicht ein siehst, weißt du praktisch überhaupt nicht, was du hier tust. Gegeben ein Homo

f : G =====> G ’ ( 2.1 )

Sei ferner H Untergruppe von G. Du kriegst von mir als Hausaufgabe:

f ( H ) = Untergruppe von G ’

Du; geh das jetzt methodisch an. Was muss man alles bei ’ Untergruppe ’ zeigen? Wenn du dich dieser Prozedur ganz elementar unterziehst, siehst dus wirklich ein; dann hast du einen ’ ganzheitlichen ’ Begriff von dem, was man mit Homos bezweckt.
Wie die Dinge nun einmal liegen, hast du offenbar noch nie was von inneren Autos gehört. Bevor es hier los geht; mal eine konkrete Anwendung. Wir betrachten die Matrixgruppe GL ( n , K ) aller n X n Matrizen A mit

det ( A ) 0 ( 2.2 )

( und Matrixelementen aus Körper K ) Dann kannst du doch eine Matrix T mit einer Basistransformation

A € GL ( n , K ) ( 2.3 )

um formen

T ’ := A T A ^ -1 ( 2.4 )

Du solltest mir jetzt ruhig antworten: Hast du ( 2.4 ) irgendwo schon mal gesehen?
Ganz einfaches Beispiel aus der Sexta; wir hatten einen Studienrat von Scientology. Der ging wirklich bis zur Grenze des von den Rahmenrichtlinien ( RR ) noch gerade Zulässigen. Also was der wollte - jetzt in Gruppentheorie übersetzt.
Betrachte mal die Ebene |R ² . Glaubst du etwa, dass Drehungen in der Ebene kommutativ sind? Sicher dann nicht, wenn Drehung D1 um Punkt P1 erfolgt und D2 um P2. Versuchs halt mal … ( In unser ’ Regelheft ’ jedenfalls hat uns der ’ Rolf ’ nix von vertauschbaren Abbildungen diktiert; war wohl gegen die RR. Aber dass ich seine Beispiele nachher frisch im Gedächtnis hatte, als ich sie nach dem Vordiplom brauchte - weißt ja selber, für welchen Drill Scientology berüchtigt ist … )
Stell dir vor, wir können also drehen um einen Winkel ß um den Ursprung; vermittelt durch die Matrix T in ( 2.4 ) Und A möge jetzt bedeuten: Translation vom Ursprung zum Punkt P. Du benötigst in ( 2.4 ) drei Schritte:

  1. A ^ -1 holt P in den Ursprung zurück.
  2. T bewirkt die verlangte Drehung - aber um den Ursprung
  3. A verschiebt den Drehpunkt nach P

Und was lernen wir daraus? Trans und Rot VERTAUSCHEN NICHT; sonst wäre ja in ( 2.4 ) T ’ = T.
So jetzt weißt du also, in welchem Film wir sind; das hier war ein innerer Auto aus GL ( 3 , |R )
( Wie stellt man Trans als Matrizen dar; ====> projektive Geometrie - ich will hier nicht auf einen Nebenkriegsschauplatz ab gleiten. Aber ich will dich auch nicht daran hindern, dich unendlich schlau zu machen. )
Mathe sucht immer das Abstrakte hinter der Erscheinungen Flucht; wir verallgemeinern ( 2.4 ); unne sagemer so: Jedes Gruppenelement a € G induziert einen Auto =: f ( a ) auf G; den sog. inneren Auto

f ( a ) : G ======> G ( 2.5a )

x ======> a x a ^ -1 ( 2.5b )

Was ist zu zeigen? f ( a ) ist Endo;

f ( a ) ( x y ) ! = f ( a ) ( x ) * f ( a ) ( y ) ( 2.6a )

Beweisidee: Du schreibst jetzt die rechte Seite von ( 2.6a ) voll stumpf sinnig hin; also Def ( 2.5b ) ein setzen. Was kürzt sich raus?
Jetzt wieder anschaulich; im Hinblick auf ( 2.4 ) bedeutet die Eigenschaft ( 2.6a ) ; wenn du zwei Matrizen hintereinander aus führst. Dann sieht auch die transformierte Basis das Nacheinander der ( transformierten ) Matrizen.

Dann hat ’ Auto ’ ja noch die Eigenschaften surjektiv ( ’ onto ’ ) so wie treu.
Ach hier; Herr angehender Mathematiker. Wie, bitte schön, ist der Begriff ’ unendlich ’ definiert?
Eine Menge M heißt endlich, wenn jede ihrer Injektionen surjektiv ist. Gegenbeispiel; zwar ist die e-Fkt. treu auf |R, aber die negativen Zahlen gehören nicht zu ihrem Bild. Wenn wir also Beides zeigen; surjektiv + treu, so haben wir in erster Linie UNENDLICHE Gruppen im Hinterkopf. Treu heißt

f ( a ) ( x ) = f ( a ) ( y ) ======> x = y ( 2.6b )

( 2.5b ) ein setzen

a x a ^ -1 = a y a ^ -1 ( 2.6c )

Ist klar; oder? Die Nutzanwendung von ( 2.4 ) Zwei Matrizen, die ein Beobachter in einer Basis als verschieden empfindet, sind für die transformierte Basis sicher nie gleich.
Surjektiv können wir nur zeigen, indem wir zu jedem y € G ein f ^ -1 ( y ) benennen; ich sage dir vor; und du prüfst es nach.

f ^ -1 ( y ) = a ^ -1 y a ( 2.6d )

Im Hinblick auf ( 2.4 ) ist hier der anschauliche Sinn nur sehr schwer begreiflich zu machen; mein Prof meinte gar, das sei eine der ’ schwersten Aussagen der theoretischen Physik ’
Vielleicht so: Was immer DU - Bob - dir für eine Matrix in deiner ungestrichenen Matrix aus denkst. Deine Partnerin Alice in ihrer gestrichenen Basis kann sich die selbe Matrix schnitzen - also die Zahlen, die Matrixelemente, die schreibt sie bei dir ab. Für DICH ist das aber eine ganz andere Matrix als deine ursprüngliche, weil eure Basen ja verschieden sind. Mann hat das schon für Verwirrung gesorgt; meinst du den selben Operator, transformiert in verschiedene Basen? Oder jeder meint FORMAL die selben Matrixelemente; inhaltlich bedeutet das aber dann nichts Basis Unabhängiges mehr.
Und jetzt kommt Theorie brutal; ich dulde es einfach nicht, dass du dumm stirbst. Die inneren Autos bilden selber eine Gruppe; ich will sie mit Int ( G ) bezeichnen. Bitte rechne nach

f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) ( 2.7a ) ( Abgeschlossenheit )

f ( e ) = Identität ( 2.7b ) ( neutrales )

f ( a ^ -1 ) = f ^ -1 ( a ) ( 2.7c ) ( Inverses )

Wenn du das nun Folgende nicht mehr nach vollziehen kannst - du solltest sowieso irgendwann in die schlauen Bücher gucken. Zwei Elemente x und y heißen konjugiert; in formelzeichen x ( = ) y

x ( = ) y : (E) a € G | y = f ( a ) ( x ) ( 2.8 )

Nach allem, was du über ( 2.4 ) vernommen hast. Konjugierte Elemente sind doch äquivalent; oder? Nächste Hausaufgabe; mittels ( 2.7a-c ) zu beweisen, dass Konjugation eine GB ist. Und was lässt sich jetzt über Konjugationsklassen aus sagen? Das ist jetzt bissele anders als die Kongruenz modulo Untergruppe. Z.B. wenn G kommutativ ist, bildet jedes Element ausschließlich eine Klasse für sich. ( Und das neutrale e bleibt in jeder Gruppe einsam. )
Weißt du. wie man die Eigenschaft ’ Normalteiler ’ in Formeln aus drückt?

a H = H a | * a ^ -1 ( 2.9a )

H vertauscht mit allen Gruppenelementen ( nur als Menge, als Kollektiv; nicht individuelle Elemente! ) Links-und Rechtskongruenz sind identisch. Ich habe in ( 2.9a ) eine Umformung notiert

a H a ^ -1 = H ( 2.9b )

f ( a ) ( H ) = H ( 2.9c )

Eine Untergruppe H ist genau dann normal, wenn sie aus vollständigen Konjugationsklassen zusammen gesetzt ist; Mathematiker sagen, H ist invariant unter Int ( G ) bzw. Int ( G ) subduziert eine Darstellung von G auf H oder ’ operiert ’ auf H.
Das Etappenziel; und? Was weiß man über Int ( G ) ? Sicher nicht isomorph mit G; nimm als Gegenbeispiel eine kommutative Gruppe. Also weniger als G; aber WIE VIEL weniger genau?
Jetzt muss ich dich an die schlauen Bücher verweisen; was bedeutet das ======> Zentrum Z ( G ) ? Es gilt

Int ( G ) = G / Z ( 2.10 )

Also bis ( 2.10 ) solltest du unbedingt lernen.
Das war jetzt sone Art vorlesung; zu aufg. 1 ( die ich übrigens genau so spannend finde, wie sie mir neu ist ) bin ich über erste ansätze noch nicht hinaus gediehen.

#7

Hey Larry, selten habe ich mit derart nebulösen Ansätzen in so kurzer Zeit so viel erreicht. Ich hab Aufg. 1) geknackt - vollständig. Vergiss es; du hattest nie eine Chance. Warum geben sie euch son sinnloses Zeugs auf?
Ich könnte dir jetzt einfach runter leiern, wie es geht. Ich will statt dessen etwas anderes tun; dir erzählen, woher ich diese Ideen habe, ohne die du die Aufg. 1 nicht packst.
Ich sagte es schon; du solltest zu Lycos wechseln. Da ist mir was ganz Komisches begegnet. Schüler stellen da ihre Hausaufgaben, damit die Lehrer nicht merken, dass sie im Internet ab schreiben. Und indem ich sie löse, mache ich Entdeckungen - die findest du in keinem Buch. Ich hab ungelogen in drei Wochen Lycos mehr Mathe gelernt als in 12 Semestern Unität.
Fangen wir mal an; eine elementare Schulaufgabe. Ein Rechteck habe Umfang u und Fläche F. Wie lang sind seine Seiten? ( Z.B u = 20 , F = 16 , wenn du was Konkretes brauchst. )

x y = F ( 3.1a )

x + y = u/2 =: v ( 3.1b )

Alle Lehrer argumentieren seit nunmehr vier Jahrhunderten, das seien 2 Unbekannte. Auflösen von ( 3.1b )

y = v - x ( 3.1c )

und ein setzen in ( 3.1a )

x ² - v x + F = 0 ( 3.1d )

Streng genommen sind das gar keine 2 Unbekannten; denn ( 3.1d ) liefert uns immer 2 Wurzeln - nämlich beide Rechteckseiten.
Jetzt tritt mal einen Schritt zurück; wie kommen diese Koeffizienten v und F in ( 3.1d ) ? Das sind doch original die Zahlen aus der Aufgabenstellung.
Ich lade dich jetzt ein, Algebra im Rückwärtsgang zu betreiben; das ganze Problem von Vorne nach Hinten zu denken. Als Ansatz wählen wir diejenige quadr. Gl. deren Lösungen die beiden gesuchten Rechteckseiten x1 und x2 sind:

x ² - p x + q = 0 ( 3.2a )

Ja und was sollen p und q jetzt sein? Niemand scheint den Satz von Vieta wirklich für Voll zu nehmen:

p = x1 + x2 ( = v ) ( 3.2b )

q = x1 x2 ( = F ) ( 3.2c )

Die gebratenen Tauben fliegen uns in den Mund; du musst nichts weiter tun als ( 3.2bc ) ab schreiben. Wir VERSTEHEN plötzlich, warum die Koeffizienten von ( 3.1d ) genau so heißen müssen und nicht anders.
Auch auf Vieta trifft Einsteins bitter böses Verdikt zu

" Man muss die Dinge nicht nur REGISTRIEREN, sodern auch INTERPRETIEREN. "

Genau diesen Schwindel erregenden Stil wollen wir uns zu Nutze machen; was bedeutet dein x1 ° x2 ? Ich deute x1;2 als die beiden Nullstellen von ( 3.2a ) ; Vieta ( 3.2bc ) gibt dir dann zurück

x1 ° x2 := p ( x1 , x2 ) + q ( x1 , x2 ) ( 3.3 )

Zum ersten Mal in deinem Mathematikerleben stellst du bei ( 3.3 ) die Sinnfrage, die man Land läufig in der Mathematik eher weniger suchen würde. Ist ( 3.3 ) nur ein l ’ art pour l ’ art ; oder ist es uns geglückt, das große Geheimnis hinter x ° y zu enträtseln?
Ich bin ja ein alter Hase und kenne deine Kümmernise. Der Beweis der Gruppenaxiome scheitert regelmäßig am Assoziativgesetz ( AG ) Natürlich kannst du die Gruppenverknüpfung nach rechnen; und ’ wenn du darauf vertraust, dass du dich nicht verrechnet hast, dann verschwören sich die Umformungen hinter der Bühne, um genau das zu liefern, was wir beweisen wollen ’ ( John Archibald Wheeler ) ( Arthur Schopenhauer nennt es den Mausefallenbeweis. Die Falle schnappt zu; und z.B. das AG ist bewiesen. Aber nur, weil du deinem Prof nicht das Recht streitig machen kannst auf nur einen seiner - ansonsten Sinn losen - Rechenschritte. )
Kennst du ganz typisch die Situatuin bei den komplexen Zahlen |C ? Die werden ein geführt als reelle Zahlenpaare ( a , b ) ; und die Gruppenverknüpfung ist erklärt als

( a , b ) * ( c , d ) := ( a c – b d , a d + b c ) ( 3.4 )

( Das stimmt überein mit der Regel, wie mit dem Symbol i gerechnet wird. ) Ich würde dir trotzdem nicht raten, das AG von Hand nach zu rechnen. Man greift viel mehr zu einer Veranschaulichung; eine Untergruppe von GL ( 2 , |R ) ( genauer: Drehmatrizen ) erweist sich als isomorph zu |C. Und dass Matrizen assoziativ sind, wissen wir schon.
Nun ist deine Kringelverknüpfung ( 3.3 ) leider nicht auf Matrizen zurück geführt ( Obwohl den fiesen Mathematikern würd ich auch das zu trauen. ) Vielleicht vermutest du schon, dass wenn ( 3.3 ) durch eine quadr. Gl. erklärt ist, dass dann das Tripelprodukt x3 ° ( x1 ° x2 ) – von dem wir ja noch nicht wissen, ob es assoziativ ist – dass dieses Tripelprodukt mit den drei Nullstellen x1;2;3 ener kubistischen Gl. zu tun hat. Eine solche Gl. würde ganz typisch lauten

f ( x ) := ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( x – x3 ) ( 3.5a )

=: x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 = 0 ( 3.5b )

Auch ( 3.5ab ) hat einen Vieta:

a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) ( 3.5c )

a0 = - x1 x2 x3 ( 3.5d )

Ich begeb mich wieder mal ganz bewusst auf Schulniveau; wie würde man kubische Gl. lösen? Doch; ich glaub schon, dass du noch was zu lernst.

x ³ - 15 x ² + 71 x – 105 = 0 ( 3.6 )

Schüler sprechen oft geringschätzig davon, dass du erst mal eine Wurzel raten musst. Es besteht ja nun folgende Alternative. Entweder ( 3.6 ) ist prim ( ======> Eisensteintest; ich selbst fand es in Wiki ) ( 3.6 ) jedenfalls testet Eisenstein negativ.
Oder es spaltet ein rationaler Linearfaktor ab:

x0 := p0 / q0 ( 3.7a )

Mein genialer Lycosfreund mit Pseudonym ‚Ribek‘ nun hat aus ( 3.7a ) folgendes ( notwendiges, aber nicht hinreichendes ) Teilbarkeitskriterium her geleitet.

p0 | b0 = ( - 105 ) ( 3.7b )

q0 | b3 = 1 ( 3.7c )

Aus ( 3.7c ) folgt sofort das

KOROLLAR ( Ribek )

Ein normiertes Polynom wie ( 3.6 ) kann wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben.

Die Raterei mit den Teilern von a0 ist so unvernünftig nun auch wieder nicht. Hausaufgabe; beweise mittels obigem Korollar, dass Wurzel 2 irrational ist ( Merkst du eigentlich immer noch net, wie du in Schule und Studium laufend veraascht wirst? )
Im Falle ( 3.6 ) raten wir

x3 = 3 ( 3.8a )

Auch du würdest jetzt weiter machen mit der schwerfälligen Polynomdivision ( PD ) Ich biete dir eine Alternative, die geht leichter als 2 Unbekannte. Und es geht wieder mit Vieta; und du musst wieder rückwärts denken lernen. Wer hindert uns eigentlich daran, ( 3.2bc ) in ( 3.5cd ) ein zu setzen? ( Schreck lass nach; rückwärts blättern – was will der da !? )

a2 = - ( p + x3 ) = ( - 15 ) ======> p = 12 ( 3.8b )

a0 = - q x3 = ( - 105 ) ======> q = 35 ( 3.8c )

Da ich, wie schon erwähnt, in Lycos unter ‘Alfonsdreizehn‘ firmiere, bin ich mit mir überein gekommen, ( 3.8bc ) die ‚Alfonsinischen pq-Formeln‘ zu nennen. Junge im Ernst; glaubst du immer noch, dass du bei dieser Aufgabe auch nur irgendeine Chance hast? Hier sind Talente gefordert, die neue Formeln und Theoreme ersinnen. Und dieses ganze Zeugs hab ich ja schließlich nicht für deine Aufg 1 geschnitzt …
Wie überflüssig diese ganze PD ist, magst du daraus ersehen, dass p nur von a2 und q nur von a0 ab hängt; a1 kommt gar nicht vor. Trotzdem; hin und wieder erweisen sich der Vieta ( und die entsprechende Alfonsformel ) für a1 als unumgänglich; und gerade hier trifft es sich.

a1 = ( x1 + x2 ) x3 + x1 x2 ( 3.8d )

= p x3 + q ( 3.8e )

So. Nachdem du das alles verstanden hast und unabhängig von dieser schlauen Aufgabe deinen Nutzen daraus ziehst. Im Fernsehkrimi pflegte mein Dad immer zu sagen, wenn so die ersten fünf Leichen locker rum lagen, und jetzt fängts überhaupt erst an. Also der Beweis des AG.
Bei Berechnung, was x3 ° ( x1 ° x2 ) gibt, müssen wir eine quadr. Gl. zu Grunde legen, die die beiden Wurzeln hat

X1 = x3 ; X2 = p + q ( 3.9a )

g ( x ) := ( x – X1 ) ( x – X2 ) ( 3.9b )

=: x ² - P x + Q ( 3.9c )

Dabei habe ich zur Unterscheidung absichtlich großes X gewählt. P musst du aus drücken über Vieta durch X1 und X2.

P = x3 + p + q ( 3.10a )

= q – a2 ( 3.10b )

Dabei wurde in ( 3.10b ) der Alfons ( 3.8b ) verwendet. Und entsprechend für Q

Q = p x3 + q x3 ( 3.10c )

= p x3 – a0 ( 3.10d )

Und jetzt brauchen wir zu guter Letzt noch Alfons ( 3.8e )

x3 ° ( x1 ° x2 ) = P + Q ( 3.11a )

= a1 – ( a0 + a2 ) ( 3.11b )

Peng; fertig. Aber wieso? Die rechte Seite von ( 3.11b ) ist eine ======> symmetrische Funktion von ( 3.5ab ) Was das ist, kriegst du noch früh genug, wenn du in die ======> Galoistheorie gehst. Es bedeutet, dass dieser algebraische Ausdruck invariant bleibt unter der Permutationsgruppe der drei Wurzeln ( 3.5a ) Um nämlich das AG zu verifizieren, müsstest du doch her gehen und zum Vergleich rechnen x2 ° ( x3 ° x1 ) Aber da tust du doch nur die Nummern der drei Nullstellen ( 3.5a ) ( zyklisch ) vertauschen.
Ich glaub übrigens net, dass Evariste Galois im Duell gefallen ist. Den haben sie entführt; der musste für die Armee Geheimcodes entwickeln …
Das Ende ist schnell erzählt; das Neutrale ist die Null. Die Minus Eins übernimmt in dieser Verknüpfung die rolle der Null.
Für das Inverse musst du die Gleichung lösen

x ^ -1 ( x + 1 ) + x = 0 ( 3.12 )

Plotte ruhig mal diese Hyperbel raus, damit du mal siehst, was für komische Fantasien sich hinter dieser Aufgabe verbergen.
Bliebe zu guter Letzt noch Abgeschl. Von A Zu zeigen; das ist aber das Selbe wie Nullteiler Freiheit von ( |R , ° ) ( warum? ) Genau deshalb hab ich mir nämlich weiser Voraussicht diese Inversen ( 3.12 ) geschnitzt. Eine Verknüpfung bzw. Algebra, wo jedes sein Inverses hat, kann keine Nullteiler haben; Hausaufgabe: das allgemein her zu leiten.

#8

Inzwischen ist zu Aufg. 1) von ’ Ahnungslosi ’ gewisser Maßen bei der Konkurrenz Lycos eine Anfrage ein getrudelt; der Link zur gefälligen Beachtung:

http://www.cosmiq.de/qa/show/2854619/?withNeutral=#a…