Algebra Aufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben:

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe wird.
b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung
3°x°x=15

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus von G.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}
ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Bei der 1.) habe ich wirklich gar keinen Plan, da ich so eine Gleichung noch nie zuvor gesehen habe und ich nicht weiß, wie man so was löst.
Bei 2.) habe ich wenigstens die kleine Ahnung, dass ich bei a) um Automorphismus zu beweisen, zuerst den Homomorphismus und den Isomorphismus beweisen muss, aber wie ich so einen Beweis mache und hinbekommen, weiß ich nicht. Bei b und c) sieht es ähnlich aus.

#2

Hallo larryhunter,

Das ganze im Einzelnen auszuführen dauert mir zu Lange und ist mit Sicherheit auch nicht Sinn und Zweck. Aber ich werde dir ein paar Hinweise geben.

a) Gruppenkriterien nachprüfen, also z.B. für Assoziativität: zeige (x°y)°z = x°(y°z) für alle x, y, z aus A. Einfach die Def. einsetzen. Dann ein neutrales Element suchen, also irgendein z aus A für das gilt z°x = x für alle x aus A. Dann für abelsch noch die Kommutitativität.
b) Def. der Verknüpfung einsetzen und dann wie eine ganz normale Gleichung nach x auflösen.

a) da f (oder g? sollen das zwei Fkt sein?) G nach G abbildet musst du nur zeigen, dass es ein Isomorphismus ist. Dazu zeige, dass i) injektiv und ii) surjektiv. Dazu einfach die Def. nachprüfen… Also hat jedes Bild ein Urbild, etc.
b) Erneut Gruppenkriterien nachprüfen. Dann zeigen, dass eine Bijektion von |H| nach |x°H°x^-1| gibt, dann hast du gezeigt, dass sie Gleichmächtig sind.
c) H ist Normalteiler, wenn für alle g € G gilt: g^-1°H°g=H. Nachrechnen… könnte vielleicht etwas komplizierter werden.

Viele Grüße
MB_geo

#3

Sorry, Mathe ja, aber Algebra war und ist und wird nie mein Spezialgebiet sein. Viel Glück beim Weitersuchen von Profis in dieser Sparte.

Ich wünsche noch eine Gute Zeit

Gruß Tom

#4

Hi,

ich bin leider momentan beruflich unterwegs.

viele Gruesse,
Dina

#5

Hallo

  1. ist eigentlich ganz einfach, es wird dabei einfach eine neue Rechenoperation mit dem Zeichen ° definiert.
    Um zu zeigen, dass (A,°) eine abelsche Gruppe ist, muss man folgendes zeigen (a,b,c € A):
    -Abgeschlossenheit: a°b € A
    -Assoziativität: a°(b°c)=(a°b)°c
    -Existenz eines neutralen Elements: Es gibt e € A mit a°e=e°a=a
    -Existenz inverser Elemente: Zu jedem a € A gibt es ein a^-1 mit a°(a^-1)=(a^-1)°a=e (die Schreibweise a^-1 hat nichts mit Potenzieren zu tun, sondern bezeichnet einfach ein Element mit eben dieser Eigenschaft)
    -Kommutativität: a°b=b°a

Diese Eigenschaften findest du auch unter http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie#Mathemat…

Jetzt muss man nur nachrechnen, ob alles stimmt, z.B. für Kommutativität: a°b = ab+a+b = ba+b+a = b°a (Hier nutzt man aus, dass die Kommutiativität von + und * schon bekannt ist)

Die Gleichung 3°x°x=15 ist auch leicht zu lösen, man schreibt sich einfach mal hin, was diese ° eigentlich bedeuten (mit welchem ° man anfängt ist egal, weil assoziativ):
3°x°x = 3°(xx+x+x) = 3(xx+x+x) + 3 + (xx+x+x)

Bei 2.a) sollte man sich erst mal klar machen, was Automorphismus eigentlich bedeutet (auch da hilft Wikipedia, ich wusste es selbst nicht mehr):
-Abbildung einer Menge auf sich selbst: fx(g) € G für alle g € G
-Homomorphismus: fx(g°h)=fx(g)°fx(h) für alle g,h € G
-Bijektivität: Es gibt zu fx eine Umkehrabbildung fx^-1 mit fx(fx^-1(g)) = fx^-1(fx(g)) = g für alle g € G

Auch hier ist das Nachrechnen ziemlich leicht, z.B. für den Homomorphismus: fx(g°h) = x°g°h°x^-1 = x°g°e°h°x^-1 = x°g°x^-1°x°h°x^-1 = fx(g)°fx(h).
Bei der Suche nach der Umkehrabbildung muss man man ein wenig überlegen, mit welchen Rechenoperationen man aus x°g°x^-1 wieder g machen könnte.

Zu 2.b): Hier macht man eigentlich das gleiche wie in 1a), allerdings braucht man hier nur die Abgeschlossenheit und die Existenz des neutralen Elements zu zeigen, alles andere folgt aus der Tatsache, dass x°H°x^-1 eine Teilmenge von H ist (Dies folgt daraus, dass (H,°) eine Gruppe ist).

Bei 2c bin ich etwas ratlos, weil nicht dasteht, was mit I gemeint ist.

Gruß, Johannes

#6

1.)

a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der

Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen
Gruppe wird.

b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung

3°x°x=15

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine
beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus
von G.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}

ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Bei der 1.) habe ich wirklich gar keinen Plan, da ich so eine
Gleichung noch nie zuvor gesehen habe und ich nicht weiß, wie
man so was löst.

Bei 2.) habe ich wenigstens die kleine Ahnung, dass ich bei
a) um Automorphismus zu beweisen, zuerst den Homomorphismus
und den Isomorphismus beweisen muss, aber wie ich so einen
Beweis mache und hinbekommen, weiß ich nicht. Bei b und c)
sieht es ähnlich aus.

Tut mir leid, da kann ich leider nicht helfen.
LG, Werner