Liebe/-r Experte/-in,
bin gerade dabei auf eine Klausur zu üben und schaue daher alle Übungsblätter noch einmal an, was mir sinnvoll erscheint. Leider habe ich zu diesem Übungsblatt keine Lösung. Es wäre echt super, wenn mir das jemand, für den das kein Problem ist, mal vorrechnen könnte.
Aufgabe. 1
Es seien (G,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und H eine Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) {Hg ;g € G} ist eine Partition von G. dabei ist Hg:= {h°g ;h € H}
(b) IHI teilt IGI
c) Für alle g € G gilt: g^IGI = e
d) Für IGI >= 2 gilt: IGI ist genau dann eine Primzahl, wenn {e} und G die einzigen Untergruppen von G sind.
Aufgabe .2
Zeigen Sie, das die Menge
K:= {a + b wurzel5 ; a,b € Q}
bezüglich der üblichen Addition und Multiplikation in R ein Körper und das K eine echte Teilmenge von R ist.
Aufgabe 3
Sei K ein Körper. Zeigen Sie:
a) Die Charakteristik von K ist entweder 0 oder eine Primzahl.
b) Ist die Charakteristik von K eine Primzahl p, so gibt es einen eindeutig bestimmten Körperhomorphismus von Zp nach K.