p^-f§ kann ich doch auf jeden Fall umformen zu (1/p)^f§.
Ist also die Frage, ob p invertierbar in G ist:
Aber p ist ja gar nicht in der Gruppe, sondern eine natürliche Zahl! Das meinte ich damit, das man aufpassen mus, was in G ist, was eine Zahl ist und wofür die Abkürzungen stehen.
p^-f§ kann ich doch auf jeden Fall umformen zu (1/p)^f§.
Ist also die Frage, ob p invertierbar in G ist:
Aber p ist ja gar nicht in der Gruppe, sondern eine natürliche
Zahl! Das meinte ich damit, das man aufpassen mus, was in G
ist, was eine Zahl ist und wofür die Abkürzungen stehen.
Oder überseh ich da was?
Ich glaub, du hast den ersten Satz des Theorems übersehen. p ist ein Primteiler von |G| und damit (zumindest nach meinem Verständnis, aber ich lass mir gern das Gegenteil beweisen) in der Gruppe enthalten.
Ich glaub, du hast den ersten Satz des Theorems übersehen.
p ist ein Primteiler von |G|
Also in den Unterlagen, die kenne, bezeichnet |G| die Zahl der Elemente (=Ordnung) der Gruppe und wenn p | |G|, dann ist p ja ebenfalls eine (natürliche) Zahl. Oder anders ausgedrückt: |G| ist im Allgemeinen kein Element von G.
Jedenfalls kommen wir schon zum Kern (Wortspiel) des Problems.
Also in den Unterlagen, die kenne, bezeichnet |G| die Zahl der
Elemente (=Ordnung) der Gruppe und wenn p | |G|, dann ist p ja
ebenfalls eine (natürliche) Zahl. Oder anders ausgedrückt: |G|
ist im Allgemeinen kein Element von G.
Also einer von uns beiden liegt falsch, und ich hoffe, dass ich es nicht bin. In meinem Kopf sieht das folgendermassen aus:
Gruppe G = (Z/mZ, *) = {1, 2, …, m-1}.
0 ist nicht enthalten, sonst wärs ja keine Gruppe (0 hat kein Inverses bzgl. Multiplikation), sondern nur ein Ring
|G| = m-1 Elemente
G enthält alle natürlichen Zahlen von 1 bis |G|, also garantiert auch die Primteiler von G.
Beispiel:
G = Z/31Z, damit ist |G| = 30
Primteiler von |G| sind {2, 3, 5}. (30 = 2*3*5)
G hat aber doch die Form {1, 2, 3, 4, 5, …, 30}, also sind alle Primteiler in der Gruppe enthalten.
Jedenfalls kommen wir schon zum Kern (Wortspiel) des Problems.
0 ist nicht enthalten, sonst wärs ja keine Gruppe (0 hat
kein Inverses bzgl. Multiplikation), sondern nur ein Ring
|G| = m-1 Elemente
G enthält alle natürlichen Zahlen von 1 bis |G|, also
garantiert auch die Primteiler von G.
Da liegt das Problem! Zum einen besteht Z/mZ nicht aus ganzen Zahlen, sondern aus Restklassen modulo m. Eine Gruppe muss nicht aus Zahlen bestehen, sondern aus irgendwas. Was gefordert sein muss für eine Gruppe (G,.) ist:
. : GxG->G ist eine innere Verknüpfung auf G
. ist assoziativ
Es gibt ein neutrales Element e in G, wo für jedes g in G gilt:
e.g = g.e = g
Zu jedem Element g in G gibt es ein h in G mit g.h = e und
man nennt dieses Element das inverse Element (-g, g^-1 sind
übliche Bezeichnungen)
In deinem Fall ist 1 das neutrale Element in dieser Gruppe. Aber z.B. in der Gruppe (Z,+) ist es die 0. Und in ({R-R},.) wo . die Konkatenation ist, ist es die identische Funktion.
Ein Ring ist eine Triple (A,+,*), wo (A,+) eine kommutative Gruppe ist und (A,*) eine Halbgruppe. Weiters gelten noch zwei Distributivgesetze. Etwa ist (Z,+,*) ein Ring (mit Einslement). Aber, ein Ring muss kein neutrales Element bezüglich der multiplikativen Operation haben (meist Einselement genannt).
Die Menge Z/mZ besteht aus m Elementen: {[0], …, [m-1]}, wenn du die Restklassen module m meinst. Wenn du die primen Restklassen modulo m meinst, dann besteht die Menge aus phi(m), mit Euler-Phi-Funktion, die Zahl der primen natürlichen Zahlen
Ui, ich seh schon… ich muss die Grundgrundlagen nochmal durchgehen. Ich habe bisher halt nur einmal kurz mit dem Thema zu tun gehabt, so dass ich bei „Gruppen“ eigentlich immer sofort an Z/pZ (p prim) denke…
(Die) Lektüre hab ich wohl, allein mir fehlt die Zeit… *g*
).
