AlgII,Erbe,Reha: Wer zahlt bei spontanem Vermögen?

Person A hat eine Wohnung geerbt und muss sie verkaufen, gleichzeitig wird beim Jobcenter (JC) eine 8-monatige Reha beantragt.

Nun die Frage:
Wer zahlt, wenn die Wohnung (Bsp.: 50.000 €) verkauft und der Alg-II-Empfänger dadurch nun vermögend würde und zu der Zeit in der Reha steckt?

Das Bundesagentur für Arbeit (BA) sagt, die Reha sei eine Alg-I- bzw. SGB-III-Leistung, womit das mit dem Alg II (SGB II) eh alles unwichtig wäre.
Theoretisch müsste also Person A nix zahlen, weil er Alg I würde und die Wohnung dann also ruhig verkaufen könnte, ohne gleich wieder arm zu werden, weil noch ein paar Monate Reha anstehen.

Ist das so korrekt?