Hallo Manfred,
ich weiss zwar nicht, wass die Ziffer „4“ in Deinem Beispiel unten zu suchen hat (schließlich war die Vorgabe ja 1,2,3)… aber ich habe (glaube ich) eine Lösung.
Da Bauingenieur wie ich sich durch die Höhere Mathematik im Studium und Beruf nur mit Grausen quälen, aber allemal für einen Trick zu haben sind, hier meine Lösung:
Voraussetzung: die n Ziffern sind alle unterschiedlich, also z.B. nicht 1,2,2,3, sondern allgemein a,b,c,d, wobei keine Ziffer mit einer anderen gleich ist.
Dann kann man folgendes Gedankenmodell aufmachen: (zunächst mal nur für die 4-stelligen Zahlen)
Eine beliebige Zahl „xywz“ bedeutet doch x000 + y00 + w0 + z
Der TRICK: Nicht die Zahlen „hintereinander“ (123 + 132 + 213 +… der Wahnsinn naht) addieren, sondern, zunächst nur alle möglichen „Hunderter“, dann alle möglichen „Zehner“ und zuletzt alle möglichen „Einer-Stellen“
Wie „oft“ kann also a an der Stelle x stehen - so oft, wie ich unterschiedliche Kombinationen für ywz finde, und davon gibt es (siehe Stochastik, Kombination) K = (n über k) = n! / (k! (n!-k!)) = 6 Möglichkeiten.
Da aber nicht nur a an der Stelle x stehen kann, sondern auch b, c oder d, bilden wir mit q = a+b+c+d die Quersumme (nehmen wir mal an, q=10 weil 1,2,3,4 die gefragten Ziffern sind).
Jetzt gilt (immer noch für die Stelle x "der Tausender)) folgende Summierung S44 (Summe 4. Stelle der 4-stelligen Zahlen) = q x 1000 x K = 10 x 1000 x 6 = 60.000
Jetzt müssen natürlich noch die „Hunderter“ Stellen der 4-stelligen Kombination gerechnet werden, diese ergeben sich analog zu
S34 = q x 100 x K, wobei K = (n über k) = (3 über 2) [denn jetzt stehen für drei mögliche Ziffern nur noch zwei „Restplätze“ zur Verfügung] darus ergibt sich S34 = 10 x 100 x 6 = 6000
Für die „Zehner“ analog S34 = 10 x 10 x 3 (mit K = (3 über 1) = 3) S42=300
Und für die Einer - logisch - S14 = q x 1 x K = 10 x 1 x 1 = 10
In der Summer S4 = S44 + S34 + S24 + S14 = 66310 in Summe für alle möglichen Kombinationen von vierstelligen Zahlen
Nun bleiben natürlich noch die 3 - 1 stelligen Zahlen… ABER HALT, die kennen wir schon, sind doch bereits für S34, S24 und S14 ermittelt worden.
Also Summe Gesamt = S44 + 2 x S34 + 3 x S24 + 4 x S14
oder ganz allgemein: wenn M Ziffern vorgegeben, dann sei n = M-1, und q = Quersumme der M Ziffern, dann ist
S= [1 x q x 10^(n-1) x (n über n)] + [2 x q x 10^(n-2) x (n über n-1)] + … + [m x q x 10^0 x (n über 1)]
Aber ACHTUNG: Diese Formel ist NUR richtig, wenn alle M Ziffern ungleich sind, bzw, wenn bei den Ziffern (ein Beispiel) 1,1 die Summe S = 1 + 1 + 11 + 11 sein soll. Wenn die Lösung in diesem Fall 1 + 11 = 12 sein soll, dann wird es reichlich kompliziert… vielleicht dann etwas für einen Nicht-Bauingenieur 
)))
Gruß aus dem beginnenden Feierabend
Moritz
P.S. Oder habe ich aufgrund der späten Stunde irgendwie verquer gedacht???
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