Hi Cess,
Ich bräuchte mal ein paar Tipps von ähnlich Betroffenen:
Ist zwar schon paar Tage her, aber ich versuch mal, zu rekapitulieren 
Schwanger, Teilzeitstelle nur befristet, keine finanziellen
Rücklagen, kein Vater in Sicht…
Das Erste muss sein, den Arbeitgeber umgehend (auch wenn noch keine ärztliche Bestätigung vorliegt) von der vorliegenden Schwangerschaft zu informieren. Der AG hat eine Fürsorgepflicht.
Bei einem befristeten Arbeitsplatz schützt allerdings auch eine Schwangerschaft nicht vor dem fristgemäßen Ende des Arbeitsverhältnisses.
Daraus folgt: Weg zum Arbeitsamt und anmelden, ab wann die Arbeitslosigkeit vorliegen wird. Je eher, je besser; denn dann dauert eine Zahlung nicht mehr so lange.
Vielleicht trotzdem sich um einen neuen Arbeitsvertrag bemühen. Bei Einstellungsgesprächen ist es erlaubt zu lügen, wenn es um die Frage einer bestehenden Schwangerschaft geht. Vielleicht ist ja alles noch ganz frisch, dann könnte man auch ganz gut die Probezeit bestehen, ohne dass jemand was merkt. Allerdings halte ich persönlich das für etwas verwerflich…
Welche Möglichkeiten hat frau denn da überhaupt, ein Kind
selbstständig zu versorgen?
Es gibt so viele Alleinerziehende in Deutschland, und die Zahl steigt stetig an! Eine gute, eine optimale Erziehung hat IMHO nichts mit Finanzen zu tun. Der Möglichkeiten gibt es viele, dass Du nicht erwarten brauchst, auf der Straße zu landen.
Welche finanziellen Möglichkeiten gibt es?
Für eine eventuelle zeitliche Lücke zwischen Ende des befristeten Arbeitsverhältnisses und Geburt des Kindes hast Du die Möglichkeit, Arbeitslosengeld zu beziehen.
Die Bundesstiftung „Mutter und Kind“ vergibt in einigen Fällen zusätzliche finanzielle Unterstützung. Voraussetzung ist, dass Du in einer Beratungsstelle vorstellig gewesen bist. Dort hast Du auch die Möglichkeit der Antragstellung.
Ich gehe davon aus, dass Du in einer gesetzlichen Krankenkasse versichert bist. Von dort steht Dir Mutterschaftsgeld zu für die Zeit 6 Wochen vor und 8 Wochen nach der Geburt. Spreche also auch bei Deiner Krankenkasse schnellstmöglich vor.
Dann würde ich auf jeden Fall keine Scheu vor einem Gang zum Sozialamt haben. Dort kannst Du einen Antrag auf „Hilfe zum Lebensunterhalt zum nicht ausbildungsgeprägten Bedarf“ stellen. Mehr als ablehnen können die diesen Antrag jedenfalls nicht. Lasse Dich auch gleich über andere Möglichkeiten der finanziellen Unterstützung durch das Sozialamt beraten (Wohngeld, Erstausstattung u. ä.)
Nach der Geburt des Kindes hängt das Arbeitslosengeld davon ab, ob Du dem Arbeitsmarkt überhaupt zur Verfügung stehst, das heißt Du müsstest nachweisen, dass Dein Kind adäquat untergebracht ist. Kümmere Dich also rechtzeitig um eine Tagesbetreuung. Das geht auch vor der Geburt des Kindes und ist in strukturschwachen Regionen sogar sinnvoll. Viele Krippen/KiTas haben lange Wartelisten.
Nach dem Mutterschaftsurlaub hast Du Anspruch auf Elternzeit von bis zu drei Jahren, wobei nur die ersten zwei Jahre einkommensabhängig vergütet werden. Erkundige Dich am besten bei Deinem zuständigen Versorgungsamt danach.
Außerdem bekommst Du, wenn das Kind bei Dir seinen Lebensmittelpunkt hat, das Kindergeld. Für das erste Kind beträgt dieses 154,- € monatlich.
Last but not least: Das Jugendamt. Hier lässt Du Dich über die Vaterschaftsanerkennung informieren. Vielleicht hast Du ja die Möglichkeit, gegen den Vater einen Titel zu erwirken auf Zahlung von Unterhalt. Zahlt der Kindesvater nicht, so erhältst Du vom Jugendamt einen Unterhaltsvorschuss für das Kind, der aber immer nur der Mindestsatz sein wird, unabhängig von einem Titel. Im Falle einer Heirat erlischt dieser Anspruch. Unterhaltsvorschuss wird bis zum 12. Geburtstag des Kindes gezahlt, aber maximal nur 6 Jahre lang.
Das Jugendamt wird Dich auch dabei beraten, wie Du gegen den Kindesvater Unterhalt für Dich selbst einfordern kannst. Neuerdings muss man dafür ja nicht verheiratet gewesen sein.
Ist der Arbeitgeber trotz befristetem Vertrag verpflichtet,
den Vertrag zu verlängern und Mutterschaftsurlaub zu bezahlen?
Definitiv NEIN - wie schon oben erwähnt.
So, ich hoffe, alle Möglichkeiten aufgeführt zu haben. Lass Dir keine grauen Haare wachsen: Ein Kind kriegt man immer durch !! Es wird Dein Leben auf jeden Fall bereichern 
Viele Grüße
Jana