Hallo NXT!
Beispiel 1:
lim(x --> 2) ((x-2)*(3x + 1))/(4x-8)
Setze ich für x nun 2 ein, so ergibt sich im Nenner eine Null
(weil 4*2 - 8 = 0). Somit entsteht ein unbestimmter Ausdruck
(„unendlich“).
Nein, es ist nicht unendlich. Unendlich wäre es nur dann, wenn im Zähler keine Null stünde. Das wäre dann auch ein sehr bestimmter Ausdruck, und Du könntest guten Gewissens schreiben, der Grenzwert sei unendlich.
Aber hier steht, wenn ich 2 einsetze, (2–2)*(6+1)/(8–8) = 0/0, und das ist ein unbestimmter Ausdruck, denn a/b ist ja die Antwort auf die Frage: „Womit muss ich b multiplizieren, damit a rauskommt?“; also 0/0 = „Womit muss ich 0 multiplizieren, damit 0 rauskommt?“ kann alles sein. Deshalb musst Du noch etwas umformen.
lim(x --> 2) ((x-2)*(3x + 1))/(4x-8) = lim(x --> 2)
((x-2)*(3x + 1))/(4*(x-2)) = lim(x --> 2) (3x+3)/4 = lim(x
–> 2) (3*2+3)/4 = 7/4
Diese Lösung ist laut Lösungsbuch richtig (den Rechenweg habe
ich durch Herumprobieren gefunden). Ich verstehe aber nicht,
wieso ich im Letzten Schritt einfach x durch die 2 ersetzen
kann (es kommt ja 7/4, also die richtige Lösung) heraus und im
Anfangsterm nicht, weil da im Nenner 0 herauskommt.
Eigentlich hast Du die Antwort schon gefunden, Du musst nur ergänzen: „weil da im Nenner und im Zähler null rauskommt.“
Wie kann
ich zuverlässig erkennen, dass ich durch umformen ein
richtiges Ergebnis herausbekommen kann?
Wenn Du den Wert einsetzt und kriegst etwas heraus, was Du ausrechnen kannst (und das kann auch 2/0 = unendlich sein), dann darfst Du dies ohne Skrupel tun. Nur 0/0 und unendlich/unendlich kannst Du nicht ausrechnen.
Beispiel 2:
lim(x --> 1) (x^2-1)/(x^2+1) = lim(x --> 1)
(x*(x-1/x))/(x*(x+1/x)) = lim(x --> 1) (x-1/x)/(x+1/x) =
lim(x --> 1) (1-1/1)/(1+1/1) = 0/2 = 0
Hier wieder die gleiche Frage: Warum darf ich am Ende den Wert
für x einsetzen?
Hier darfst Du ihn bereits am Anfang einsetzen, denn (1^2–1)/(1^2+1)=0/2=0, da muss ich nicht erst alles mögliche ausklammern.
Beispiel 3:
lim(x --> -3) x^2-x-12/x+3 = ?
Okay, einfach –3 einsetzen geht wohl nicht? Mal probieren:
((–3)^2–(–3)–12)/(–3+3) = (9+3–12)/0 = 0/0. Okay, geht wirklich nicht.
Dann versuchen wir mal, ob wir das nicht kürzen können.
Um Dir diesen Schritt einmal zu veranschaulichen, gehe ich mal ins erste Beispiel zurück, dort stand:
((x-2)*(3x + 1))/(4*(x-2)).
Wenn Du hier irgendwas anderes als 2 einsetzt, dann ist (x–2) irgendeine Zahl, die nicht null ist. Mit der kann ich den Bruch kürzen. D.h., für x≠2 ist
((x-2)*(3x + 1))/(4*(x-2)) = (3x+1)/4. Eine schöne Funktion! Einfach eine Gerade im Koordinatensystem, was will man mehr!
Die Sache hat nur einen einzigen Haken: Die Gerade hat eine Lücke bei x=2, denn dort war die Funktion ja nicht definiert. Aber wir wissen ja, wie wir diese Lücke füllen müssten, nämlich einfach mit dem Wert von (3x+1)/4 für x=2. Also ist das der Grenzwert, der Wert, gegen den die Funktion dort strebt.
Nun zurück zu unserem Beispiel:
lim(x --> -3) (x^2-x-12)/(x+3)
Es wäre doch schön, wenn wir hier auch einfach x+3 kürzen könnten! Das ginge, wenn
(x^2–x–12)/(x+3) = ((x+3)*irgendwas)/(x+3)
wäre. Die Frage ist: Was ist das Irgendwas?
Nun ist der Term im Zähler quadratisch, also muss noch ein einziges x rein, es steht also da (für den Zähler):
x^2–x–12 = a*(x+3)*(x+b),
wobei a und b kein x mehr enthalten. Nun Formen wir um:
a*(x+3)*(x+b)=a*(x^2+(3+b)x+3*b)=a*x^2 + a*(3+b)*x + a*3*b.
Als erstes sehen wir, dass a=1 sein muss, weil vor dem x^2 kein Koeffizient steht. Also:
x^2–x–12 = x^2 + (3+b)*x + 3*b.
Wir suchen also ein b mit 3+b=–1 und 3*b=–12, und so ein b gibt es, Gott sei dank! Unsere Mühen sind nicht umsonst gewesen. Es ist (Trommelwirbel) … b=–4. Also
x^2–x–12 = (x+3)*(x–4).
Wir können ja noch die Probe machen, wenn wir Zeit haben; aber wichtiger ist: Jetzt können wir kürzen:
lim(x --> -3) (x^2-x-12)/(x+3) = lim(x --> -3) (x+3)*(x–4)/(x+3) = lim(x --> -3) (x–4) = –7.
Fertig!
Liebe Grüße
Immo
