Allgemeine quadratische gleichungen

Wissenschaft Physik
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ich hab nochmal ne frage …

wie rechnet kommt man bei einer quadratischen gleichung darauf wie mann den größten bzw. den kleinsten wert bestimmt den eine funktion annehmen kann .
z.b. f(x)=2(x-1,5)²+3,5

oder wie berechnet man den scheitel eines schaubilds
z.b.
f(x)=3((x+2)²-4)

irgendwie ist das doch alles total schwer …

und wie gehen nochmal die binomischen formeln und wie bitte kommt man darauf dass es jetzt eine und welche von den dreien ist ???

wer schön wenn mir jemand helfen könnte !!!
danke !!!

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Auch hallo

Hallo liebes Forum :wink:
ich hab nochmal ne frage …

wie rechnet kommt man bei einer quadratischen gleichung darauf
wie mann den größten bzw. den kleinsten wert bestimmt den eine
funktion annehmen kann .
z.b. f(x)=2(x-1,5)²+3,5

  1. Ableitung über x bilden und Null setzen. Im Bspl. wäre 2(x²-3x+2,25)+3,5 nach x anzuleiten -> 2(2x-3)

oder wie berechnet man den scheitel eines schaubilds
z.b.
f(x)=3((x+2)²-4)

…hm ? Auf fiese-scheitel.de braucht man nicht hinzuweisen (haarige Sache :wink: )

irgendwie ist das doch alles total schwer …

und wie gehen nochmal die binomischen formeln und wie bitte
kommt man darauf dass es jetzt eine und welche von den dreien
ist ???

(a+b)² = a^2+2ab+b^2
(a-b)² = a^2-2ab+b^2 (wg. des ‚-‘ f.d. obere Bspl. interessant)
(a+b)(a-b) = a^2-ab+ab-b^2
Die vierte im Komplexen (i = Wurzel(-1)):
(a+ib)(a-ib) = a^2-aib+aib+b^2

HTH
mfg M.L.

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  1. Ableitung über x bilden und Null setzen. Im Bspl. wäre
    2(x²-3x+2,25)+3,5 nach x anzuleiten -> 2(2x-3) = 0

Fehlt noch der Hinweis, dass ein Maximum_ (Minimum)_ für f(0)f(0)>0 angenommen wird

mfg M.L.

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  1. Ableitung über x bilden und Null setzen. Im Bspl. wäre
    2(x²-3x+2,25)+3,5 nach x anzuleiten -> 2(2x-3) = 0

Okay, in allgemeiner Form:
Wenn f(x) 0 „“""""""""""""""""""""""" Minimum vor

mfg M.L.

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wie rechnet kommt man bei einer quadratischen gleichung darauf
wie mann den größten bzw. den kleinsten wert bestimmt den eine
funktion annehmen kann .
z.b. f(x)=2(x-1,5)²+3,5

oder wie berechnet man den scheitel eines schaubilds
z.b.
f(x)=3((x+2)²-4)

Ich gehe mal davon aus, dass dir ein paar Grundlagen fehlen, und dass du mit Differentialrechnung noch nichts am Hut hast.

Von den Quadratischen Funktionen (Parabeln) sind folgende Darstellungsweisen gebräuchlich:

1. Normale Form
p(x) = ax^2 + bx + c

2. Scheitelform
p(x) = a(Xs-x)^2 + Ys
(Xs,Ys) ist der Scheitelpunkt
Falls a>0 ist das der tiefste Punkt der Parabel (a3. Produkt von Linearfaktoren
p(x) = a(x-X1)(x-X2)
X1, X2 sind die Nullstellen der Parabel

Nun rechnet man 2. und 3. in die normale Form um, und vergleicht mit 1.:

  1. p(x) = ax^2 + (b )x + (c )
  2. p(x) = ax^2 + (-2aXs )x + (aXs^2 + Ys)
  3. p(x) = ax^2 + (-(aX1+aX2))x + (aX1X2 )

Um z.B. 1. in 2. zu überführen erhält man folgende Gleichung:
b = -2aXs => Xs = - b/(2a) (*)
c = aXs^2 + Ys = a( (-b/(2a))^2) + Ys => Ys = c-b^2/(4a) (**)

z.b. f(x)=2(x-1,5)²+3,5

(= 2(1,5-x)^2 + 3,5) liegt bereits in der Scheitelform vor
a=2 und Xs=1,5 und Ys=3,5 (wegen 2>0 ist das der tiefste Punkt)

z.B. f(x)=2x^2 + 4x + 5 (a=2, b=4, c=5)
Xs = - b/(2a) = - 4/(2*2) = -1
Ys = c-b^2/(4a) = 5 - 16/(4*2) = 3
also
f(x) = a(Xs-x)^2 + Ys = 2(-1-x)^2 + 3

f(x)=3((x+2)²-4)

(= 3(x+2)^2 - 12 = 3(-x-2)^2-12 (a=3, Xs=-2, Ys=-12)

Du brauchst nur noch in (*), (**) die Werte einsetzen.

Übrigens aus dem (Koeffizienten-)Vergleich 1.-3. folgt unmittelbar der Satz von Vieta.

Gruß Frank