Alltagsproblem in Formel darstellen

Jorge_8bc528 · 27. Juli 2009 um 21:54

Hallo zusammen,

mein kleiner Sohn hat bei seinem Zahlen-Fahrradschloss die Kombination vergessen. Da ich mir das Geld für ein neues erst mal sparen will, drehe ich stoisch ein ums andere mal am Rad.
Inzwischen bin ich bei 7000 angelangt (es sind 4 Ziffern), und zwischendurch kam mir fastweg philosophisch die Frage, wie oft drehe ich eigentlich am Rad?
Mit 0000 fange ich an, wenn ich die Einer durchhabe, drehe ich den 10-er einen weiter. Nachdem ich die 10-er bis 9 durchhabe, kommt der erste 100-er usw. bis 9999.
Gibt es jetzt tatsächlich eine Formel, die das abstrakt ausdrückt, wie oft ich die Rädchen drehe, wenn 9999 die Kombination des Schlosses ist?

Ich hoffe, ich hab das jetzt einigermaßen mathematisch ausgedrückt.

Liebe Grüße

Jorge

Gunter_Ewald_Kaiser_9f2bc1 · 27. Juli 2009 um 22:49

Guten Abend.

Gibt es jetzt tatsächlich eine Formel, die das abstrakt
ausdrückt, wie oft ich die Rädchen drehe, wenn 9999 die
Kombination des Schlosses ist?

Ich hoffe, du bist nicht enttäuscht, wenn ich dir sage, dass deine „Formel“ einfach n = 10⁴ (10 x 10 x 10 x 10) lautet, du also 10000 Möglichkeiten hast - und wenn du bei 9999 fündig wirst, hast du sie alle durchprobiert …

Der Sachverhalt ist recht einfach. Jedes Rad hat zehn Einstellmöglichkeiten. Hättest du nur ein Rad, dann wäre die Anzahl der Möglichkeiten auch 10, genauer 10 hoch 1. Bei zwei Rädern kannst du für jede der 10 Einstellungen des ersten Rades 10 verschiedene des zweiten Rades finden. Macht 10 x 10 = 10² = 100 Möglichkeiten, und mit jedem hinzukommenden Rad verzehnfacht sich die Anzahl der möglichen Kombinationen. Radanzahl = m => Möglichkeiten = 10^m.

GEK

Jorge_8bc528 · 27. Juli 2009 um 23:33

Lieber GEK,

du hast ja bestimmt messerscharf bemerkt, dass hier ein Laie eine Frage stellt. Immerhin ein an Mathematik interessierter Laie.

Deshalb: so ganz kann ich dir noch nicht folgen.

Ich beginne bei 0000, drehe zehn mal, bin wieder bei der einer-Null und drehe den Zehner auf 1. Summasumarum 11 mal gedreht. Wieder 10 mal drehen plus auf den 2. Zehner drehen gibt 22 mal gedreht. Also: wenn ich bei 20 bin habe ich schon 22 mal gedreht. Müsste jetzt eigentlich bedeuten, wenn ich bei 90 bin, habe ich 99 mal gedreht. Um auf 0100 zu kommen, muss ich noch 10 mal die Einer drehen (steht dann auf 0), 1 mal den 10-er (steht dann auch auf 0), und noch 1 mal den Hunderter (steht dann auf 1). Bei 0100 hätte ich also 99 + 10 + 1 + 1 = 111 mal gedreht.

Meine Frage war ja, wie oft ich drehe, nicht, wie viele Kombinationen es gibt.
Oder hab ich es nicht genau genug formuliert? Das täte mir leid.

Liebe Grüße

Jorge

Uwi · 28. Juli 2009 um 00:13

Hallo,

du hast ja bestimmt messerscharf bemerkt, dass hier ein Laie
eine Frage stellt. Immerhin ein an Mathematik interessierter Laie.
Deshalb: so ganz kann ich dir noch nicht folgen.

das liegt wohl wieder daran, dass die Frage tatsächlich nur oberflächlich
gelesen oder völlig falsch interpretiert wurde, was aber nicht an der
Frage selbst lag.

Ich beginne bei 0000, drehe zehn mal, bin wieder bei der
einer-Null und drehe den Zehner auf 1. Summasumarum 11 mal
gedreht. Wieder 10 mal drehen plus auf den 2. Zehner drehen
gibt 22 mal gedreht. Also: wenn ich bei 20 bin habe ich schon
22 mal gedreht. Müsste jetzt eigentlich bedeuten, wenn ich bei
90 bin, habe ich 99 mal gedreht. Um auf 0100 zu kommen, muss
ich noch 10 mal die Einer drehen (steht dann auf 0), 1 mal den
10-er (steht dann auch auf 0), und noch 1 mal den Hunderter
(steht dann auf 1). Bei 0100 hätte ich also 99 + 10 + 1 + 1 =
111 mal gedreht.
Meine Frage war ja, wie oft ich drehe, nicht, wie viele
Kombinationen es gibt.

Naja, das kannst du dir dann wohl auch selber überlegen.
Das 1000er-Rädchen mußt du nur einmal herumdrehen (0…9 sind 10 Positionen)
Das 100er-Rädchen 10mal so oft (für jede 1000er-Position einmal 0…9)
Das 10er-Rädchen wieder 10mal so oft (für jede 100er-Position 0…9)
Das 1er-Rädchen wieder 10mal so.
Also 1 Umdr.(1000er) + 10Umdr.(100er) + 100Umdr.(10er)+1000Umdr.(1er)
macht 1111 einzelene Umdrehungen mit 11110 einzelne Positionen der 4 Rädchen,
oder?

Mein Tip ist aber, daß man solche Schlösser mit etwas Probieren und bischen
Feinmotorik in wenigen Minuten aufbekommt. Dabei nutzt man die
unvermeidlichen Toleranzen bei der Fertigung.
Dazu stellt man den Bügel ewas unter Spannung und prüft abwechselnd,
welches Rädchen am schwersten geht. Das dreht man solange bis ein anderes
schwergängiger ist. Damit kommt man systematisch zum Ziel.
Ich habe für solche Schlösser ohne viel Übung kaum mehr als 5min. gebraucht.
Gruß Uwi

Martin · 28. Juli 2009 um 00:20

Hallo,

Immerhin ein an Mathematik interessierter Laie.

Deine Überlegungen sind richtig.

Bei einem Ein-Rad-Schloss musst Du höchstens 9 Rad-Weiterschaltungen tätigen,
bei einem Zwei-Rad-Schloss sind es höchstens 9 + 99 = 108,
bei einem Drei-Rad-Schloss höchstens 9 + 99 + 999 = 1107,
und bei einem Vier-Rad-Schloss höchstens 9 + 99 + 999 + 9999 = 11106.

Damit ist das Bildungsschema klar und es ist nicht weiter schwierig, eine Formel für das allgemeine N-Rad-Schloss aufzustellen. Dieses ist nach maximal

10\cdot\frac{10^N - 1}{9} - N

Rad-Weiterschaltungen geknackt.

Gruß und gute Nacht
Martin

Reinhard_Kern_4bc529 · 28. Juli 2009 um 04:53

Inzwischen bin ich bei 7000 angelangt (es sind 4 Ziffern)

Hallo,

PK - Pech kett, würde der Schwabe sagen. Statistisch gesehen sollte das Schloss nach durchschnittlich 5000 Versuchen aufgehen. Das sagt natürlich nichts über den Einzelfall.

Wenn du allerdings bei 9999 bist und das Schloss ist nicht offen, hast du dich irgendwann vertan. Dann kannst du nur wieder von vorne anfangen…

Gruss Reinhard

Der_Ren_15678c · 28. Juli 2009 um 08:18

Hallo,

Ich beginne bei 0000, drehe zehn mal, bin wieder bei der
einer-Null und drehe den Zehner auf 1. Summasumarum 11 mal
gedreht.

Dann hast du hier schon einmal mehr gedreht als notwendig, weil du die „0010“ ja schon hattest. Hättest du nach „0009“ auf „0019“, nach der „0018“ dann „0028“ usw. gedreht, würdest du insgesamt auch nur die 9999 Drehungen brauchen, um alle Kombinationen einmal durchzubekommen. Dabei muß man sich aber etwas mehr Gedanken machen und eben immer merken, was man schon hatte.

Cu Rene

Martin · 28. Juli 2009 um 10:43

Hallo,

diese Methode ist in der Tat clever, und es ist auch die mit dem kleinstmöglichen Aufwand.

Hier vollständigkeitshalber mal die komplette Abfolge für ein Zwei-Rad-Schloss:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09
19, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
28, 29, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
37, 38, 39, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36
46, 47, 48, 49, 40, 41, 42, 43, 44, 45
55, 56, 57, 58, 59, 50, 51, 52, 53, 54
64, 65, 66, 67, 68, 69, 60, 61, 62, 63
73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 70, 71, 72
82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 80, 81
91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 90

Das sind alle 100 möglichen Kombinationen, und von einer zur nächsten wird immer nur ein Rad weitergeschaltet. Somit ist das Schloss nach höchstens 99 Radweiterschaltungen (allgemein 10^N – 1 für ein N-Rad-Schloss) geknackt. Die letzte Kombination bei einem Drei-Rad-Schloss ist übrigens „900“, bei einem Vier-Rad-Schloss „9000“ usw.

Gruß
Martin

michael_f7f5bc · 28. Juli 2009 um 14:43

hi,

um N zahlen auszuprobieren, muss man mindestens N-1 mal etwas verändern. weniger geht nicht.

renes methodenskizze zeigt, dass das auch ausreicht.

Ich beginne bei 0000, drehe zehn mal, bin wieder bei der
einer-Null und drehe den Zehner auf 1. Summasumarum 11 mal
gedreht.

Dann hast du hier schon einmal mehr gedreht als notwendig,
weil du die „0010“

hier wohl „0000“ gemeint

ja schon hattest. Hättest du nach „0009“
auf „0019“, nach der „0018“ dann „0028“ usw. gedreht, würdest
du insgesamt auch nur die 9999 Drehungen brauchen, um alle
Kombinationen einmal durchzubekommen. Dabei muß man sich aber
etwas mehr Gedanken machen und eben immer merken, was man
schon hatte.

00 ... 09 bzw. 000 ... 009
19 ... 18 usw.
28 ... 27
37 ... 36
46 ... 45
55 ... 54
64 ... 63
73 ... 72
82 ... 81
91 ... 90 bzw. 091 ... 090

sind die 99 drehungen für rad 1 und 2.
danach kommt:

190 ... 199
109 ... 108 
118 ... 117
127 ... 126
136 ... 135
145 ... 144
154 ... 153
163 ... 162
172 ... 171
181 ... 180

und danach:

280 ... 289
...

nachdem es mit jeder hunderterziffer möglich ist, durch 99 verdrehungen alle zahlen mit ihr als hunderterziffer herzustellen, lässt sich das fortsetzen. N-1 verdrehungen reichen.

m.

Der_Ren_15678c · 28. Juli 2009 um 18:05

Hallo,

Dann hast du hier schon einmal mehr gedreht als notwendig,
weil du die „0010“

hier wohl „0000“ gemeint

Uups, immer gut, wenn noch jemand mitdenkt.

Ohne das jetzt voll durchdacht zu haben, muß man wohl immer „aufpassen“, wenn die Quersumme 9, 19, … ist. Ein Zahlentheoretiker könnte das sicher auch noch beweisen, als Physiker bin ich aus der freiwilligen Vorlesung aber irgendwann ausgestiegen, als der Prof abzuheben drohte.

Cu Rene

Jorge_8bc528 · 29. Juli 2009 um 21:44

Hallo zusammen,

ich habe mich sehr gefreut über eure Antworten und Vorschläge.

Es ist so, dass ich an sonnigen Abenden bei uns am Badesee im Biergarten sitze, ein Kristallweizen neben mir und losgelöst von der Zeit drehe.
Sehr kontemplativ und nach anstrengender Arbeit sehr entspannend. So bin ich auf die Frage nach der Formel gekommen.
Heute habe ich meine Rädchen freudmäßig „vergessen“.
Bin inzwischen bei 8000 (das Wetter die letzten Tage war nicht so toll.) und befürchte, dass die richige Kombination schon hinter mir liegt…

Euch noch einen schönen Sommer.

Fruendliche Grüße

Jorge