Ja, eine Festplatte wird nur bei manchen Spielen benötigt. Battlefield 3 zum Beispiel benötigt um es in HD spielen zu können eine 1,5 GB große Installation auf der Festplatte. Fifa 12 und Forza 4 speziell kann man auch ohne daddeln.
Solltest Du aus dem Raum PLZ 58579 kommen kann ich Dir auch gerne eine 60GB Festplatte schenken, brauche das Ding eh nicht mehr. Du müsstest Sie Dir halt nur abholen kommen.
Also, eine alte XBox zu kaufen ist keine schlechte Idee. Solange diese schon über einen HDMI Ausgang verfügt. Alte Festplatten kann man in den meisten Elektrofachmärkten nochh nachkaufen und mal abgesehen von der erhöhten Lautstärke läuft die alte XBox sogar stabiler als die aktuelle.
Allerdings kostet so eine alte XBox bei eBay oder ähnlichen Kleinanzeigenmärkten nur noch um die 50 €uro. Lass Dir da also nix erzählen 
Ach ja, um speichern zu können benötigst Du noch einen USB Stick und um Gottes-Willen, lass Dir keine geflashte (Laufwerk ausgetauscht oder Firmware geflasht) XBox andrehen. Die bekommst Du nämlich mittlerweile geschenkt weil die Keiner mehr haben will.